Question

При каких значениях переменной х имеет смысл выражение ?

Answer 1

Копирую часть своего ответа, А САМО РЕШЕНИЕ В КОНЦЕ

Разделить число a на число b означает узнать, из какого количества (из со скольких штук) числа (чисел) b можно составить число a

$\frac{18}{3}=16$  Из шести троек (если сложить их все) можно составить число 18.

Хорошо, теперь интересное: $\frac{1}{0}$ сколько нулей нужно добавить, что бы получилась единица? ответа не существует. Другими словами как я могу разделить один миллион евро среди 0-ля людей? А ни как, людей нету. Т.е. в этом случае операция деления на ноль просто напросто не несет никакой информационной нагрузки.

Хорошо. а как быть с  $\frac{0}{0}$?

0 можно получить добавив 2 нуля, 4, сколько хочешь нулей, ни сколько нулей, кажется ответ должен быть, и так можно делать с числами.
Тут нужно вспомнить, что ответом для операции деления одного числа на другое люди договорились считать одно ЕДИНСТВЕННОЕ число, а тут у нас неоднозначность, не один ответ, т.е. такая операция тоже не задана.

Также, под корнем не может быть отрицательного числа, т.е. выражение под корнем должно быть большим или равным нулю. В силу того, как вводится понятие корня квадратного, в силу определения корня квадратного.
Если корень стоит в знаменателе, то подкоренное выражение должно быть уже строго большим за 0.

$9x^2-16\ \textgreater \ 0$
$3^2*x^2-4^2\ \textgreater \ 0$
$(3x-4)(3x+4)\ \textgreater \ 0$
$(3x-4)(3x+4)\ \textgreater \ 0|* \frac{1}{3}* \frac{1}{3}$
$\frac{3x-4}{3} * \frac{3x+4}{3}\ \textgreater \ 0$
$(x- \frac{4}{3}) *(x+ \frac{4}{3})\ \textgreater \ 0$ (*)

Два случая (две возможности): 
1) $\left \{ {{x- \frac{4}{3}\ \textgreater \ 0} \atop {x+ \frac{4}{3}\ \textgreater \ 0}} \right. ; \left \{ {{x\ \textgreater \ \frac{4}{3}} \atop {x\ \textgreater \ - \frac{4}{3}}} \right. ; x\ \textgreater \ \frac{4}{3}; x\in(\frac{4}{3};+\infty)$

2) $\left \{ {{x- \frac{4}{3}\ \textless \ 0} \atop {x+ \frac{4}{3}\ \textless \ 0}} \right. ; \left \{ {{x\ \textless \ \frac{4}{3}} \atop {x\ \textless \ - \frac{4}{3}}} \right. ; x\ \textless \ - \frac{4}{3}; x\in(-\infty;-\frac{4}{3})$

Т.е. неравенство (*) превращается в правдивое числовое (и одновременно с этим имеет смысл выражение $\frac{8}{ \sqrt{9x^2-16} }$) при значениях х-са из промежутка: $(-\infty; -\frac{4}{3} )\cup(\frac{4}{3};+\infty)$

ответ: $(-\infty; -\frac{4}{3} )\cup(\frac{4}{3};+\infty)$