Question

Решите уравнения 1) |x-3|+2x=x^2-3 2) |x-1|+|x-2|=|x-3|+4

Answer 1

Так как $|x-3|=x^{2}-2x-3$, то необходимо найти область допустимых значений, то есть решить неравенство $x^{2}-2x-3 = 0$.
$x^{2}-2x-3 = 0$
D=4+12=16
$x_{1} =\frac{2+4}{2} =3$
$x_{2} =\frac{2-4}{2} =-1$
График - вогнутая парабола, схеметично начертив увидим, что решение неравентсва = x ⊂ (-∞; -1]∪[3; ∞)
Составим систему, раскрыв модуль со знаками (+) и (-):

$\left \{ {{(x-3)+2x=x^{2}-3} \atop {-(x-3)+2x=x^{2}-3}} \right.$
 
$\left \{ {{x^{2}-3-2x+x-3=0} \atop {x^{2}-3-2x-x+3=0}} \right.$
 
$\left \{ {{x^{2}-x-6=0} \atop {x^{2}-3x=0}} \right.$

Решим уравнения отдельно.

1)
$x^{2}-x-6=0$

$x_{1} =\frac{1+5}{2} =3$ => подходит, т.к. входит в ОДЗ.
$x_{2} =\frac{1-5}{2} =-2$ => подходит, т.к. входит в ОДЗ.

2)
x(x-3)=0
$x_{1}=0$ => не подходит, т.к. выходит за границы ОДЗ.
$x_{2}=3$ => подходит, т.к. входит в ОДЗ.

ответ: -2; 3.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

$|x-1|+|x-2|=|x-3|+4$

Найдём точки зануления модулей.

$|x-1| - x_{1}=1$ 

$|x-2| - x_{2}=2$ 

$|x-3| - x_{3}=3$

Этими тремя точками разобьём числовую прямую на 4 интервала и решим уравнение в каждом из них:

      I            II             III           IV

--------(1)--------(2)--------(3)--------         

I)  Раскроем модули на первом интервале (-∞; 1]: если положителен, то со знаком «+», если отрицателен, то «-»:

(1-x)+(2-x)=(3-x)+4

X=-4 => подходит, т.к. лежит в рассматриваемом интервале.

II) Раскроем модули на интервале [1; 2]:

(x-1)+(2-x)=(3-x)+4

X=6  => не подходит, так не принадлежит текущему интервалу [1; 2].

III) Раскроем модули на интервале [2; 3]:

(x-1)+(x-2)=(3-x)+4

 $x=3\frac{1}{3}$ => не подходит, так не принадлежит текущему интервалу.

IV) Раскроем модули на интервале [3; ∞):

(x-1)+(x-2)=(x-3)+4

X=4 => подходит.

ответ: -4; 4.