Question

Іте доведіть (а+2)(b+6)(c+3)> 48√abc

Answer 1

Докажем сначала неравенство:
$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ - выполняется, если $x \geq 0$ и $y \geq 0$

$x+y \geq 2 \sqrt{xy}$
при указанных условиях на x и у:
$( \sqrt{x})^2+( \sqrt{y} )^2 \geq 2 \sqrt{xy}$
$( \sqrt{x})^2+2 \sqrt{xy} +( \sqrt{y} )^2 \geq 0$
$( \sqrt{x})^2+2* (\sqrt{x})*( \sqrt{y} ) +( \sqrt{y} )^2 \geq 0$
$( \sqrt{x} - \sqrt{y} )^2 \geq 0$
получили правдивое неравенство путем эквивалентных переходов, значит и исходное было правдивым

используем в нашем неравенстве доказанное:
$a+2 \geq 2 \sqrt{a*2}$
$b+6 \geq 2 \sqrt{a*6}$
$c+3 \geq 2 \sqrt{c*3}$

т.е. $(a+2)(b+6)(c+3) \geq 2 \sqrt{2a}* 2\sqrt{6a}* 2\sqrt{3c} =8* \sqrt{2*6*3*abc}=$
$=8* \sqrt{6^2*abc}= 8*6 \sqrt{abc}= 48 \sqrt{abc}$

Что и требовалось доказать.
Отметим, что равенство будет достигаться в случае когда выполняется условие:
$a=2$ и $b=6$ и $c=3$