Question

Определить числа а и b так, чтобы многочлен f(x) = 6x4 - 7x3 +ax2 +3x + 2 делился без остатка на многочлен g(x) = x2- x + b.

Answer 1

Определить числа а и b так, чтобы многочлен
$f(x)=6x^4-7x^3+ax^2+3x+2$
 делился без остатка на многочлен $g(x)=x^2-x+b$

Разделим эти многочлены

  6x^4-7x^3+ax^2+3x+2 | x^2-x+b
- 6x^4-6x^3+6bx            -----------------
-----------------------------        6x^2-x+(x-6b-1)
         -x^3+(a-6b)x^2+3x
        - x^3+        x^2-  bx
       -----------------------
                 (a-6b-1)x^2+    (3+b)x+ 2
                 (a-6b-1)x^2-(a+6b-1)x+b(a-6b-1)
               -----------------------------------------------
                                                                 0

Составим систему

$\left \{ {{(3+b)+(a-6b-1)=0} \atop {2-b(a-6b-1)=0} \right.$

выразим из первого а

$3+b+a-6b-1=0 a=5b-2$

подставим во второе

$2-b(5b-2-6b-1)=0 2+3b+b^2=0 b_1=-1. b_2=-2 a_1=-7. a_2= -12$

легко проверить что

$\frac{6x^4-7x^3-7x^2+3x+2}{x^2-x-1}=6x^2-x-2$

$\frac{6x^4-7x^3-12x^2+3x+2}{x^2-x-2}=6x^2-x-1$

ответ: а=-7, b=-1
           a= -12. b=-2