Question

При каких целых значениях n дробь принимает целые значения : 123/4n-1

Answer 1

Множество целых чисел: $...-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;...$

$\frac{123}{4n-1}$
$123=3*41$

$3$ и $41$ - простые числа

Возможные варианты:
1) $4n-1=3$
$4n=4$
$n=1$ - целое число (часть ответа)

тогда $\frac{123}{4n-1}= \frac{3*123}{4*1-1}= \frac{3*41}{3}=41$ - дробь приняла целое значение $41$

2) $4n-1=-3$
$4n=-2$
$n=-\frac{1}{2}$ - не целое число (Не часть ответа)

3) $4n-1=41$
$4n=42$
$n= \frac{21}{2}$ - не целое число (Не часть ответа)

4) $4n-1=-41$
$4n=-40$
$n=-10$ - целое число (часть ответа)

тогда: $\frac{123}{4n-1} = \frac{3*41}{4*(-10)-1}= \frac{3*41}{-41} =-3$- дробь приняла целое значение $-3$

5) $4n-1=123$
$4n=124$
$n=31$ - целое число (часть ответа)

тогда: $\frac{123}{4*31-1}= \frac{123}{124-1}= \frac{123}{123}=1$ - дробь приняла целое значение $1$

6) $4n-1=-123$
$4n=-122$
$n= \frac{-61}{2}$ - не целое число (Не часть ответа)

ответ: $1;-10;31$