Так как n+m+k делится на 6, то n+m+n=6a, где a - некоторое целое число. Тогда n = 6a-(m+k). Подставим это в выражение n³+m³+k³: (6a-(m+k))³+m³+k³ = (6a)³-3*(6a)²(m+k)+3*(6a)(m+k)²-(m+k)³+m³+k³. Заметим, что (6a)³-3*(6a)²(m+k)+3*(6a)(m+k)² делится на 6, так как каждое из слагаемых делится на 6. Значит, надо доказать, что -(m+k)³+m³+k³ делится на 6. -(m+k)³+m³+k³=-m³-3m²k-3mk²-k³+m³+k³=-3mk(m+k) - делится на 3. Докажем, что это выражение делится и на 2. 1) Если хотя бы одно из m и k делится на 2, то mk делится на 2. 2) Если m и k нечетные, то m+k делится на 2. Таким образом, -3mk(m+k) делится на 6, а значит, n³+m³+k³ делится на 6, что и требовалось доказать.
1 cпособ. n³+m³+k³=(n³-n)+(m³-m)+(k³-k)+(n+m+k)=n(n²-1)+m(m²-1)+k(k²-1)+(n+m+k)=(n-1)n(n+1)+(m-1)m(m+1)+(k-1)k(k+1)+(n+m+k). Т.к. произведение трех последовательных чисел делится на 6 и по условию n+m+k тоже делится на 6, то все доказано.
2 cпособ. Куб числа имеет такой же остаток при делении на 6, как и само число (это легко проверить, перебрав все числа вида 6k, 6k+1, ... 6k+5). По условию n+m+k делится на 6, т.е. сумма остатков от деления n, m, k делится на 6, а значит и сумма остатков кубов (у них те же остатки) тоже делится на 6.
Если n+m+k≡0 (mod 6), то n+m≡-k(mod 6). Значит -k³≡(n+m)³=n³+m³+3nm(n+m)≡n³+m³-3nmk (mod 6). Т.е. n³+m³+k³≡3nmk (mod 6). Т.к. среди чисел n, m, k обязательно есть четное (иначе их сумма была бы нечетным числом и значит не делилась бы на 6), то 3nmk≡0 (mod 6), т.е. n³+m³+k³≡0 (mod 6).
9х^4 + 8х^2 - 1 = 0
Х^2 = а ; а > 0
9а^2 + 8а - 1 = 0
D = 64 + 36 = 100 = 10^2
a1 = ( - 8 + 10 ) : 18 = 1/9
a2 = ( - 8 - 10 ) : 18 = - 1 ( < 0 )
X^2 = 1/9
X1 = 1/3
X2 = - 1/3
ответ 1/3 ; - 1/3
Б) 2х^4 - 5х^3 + 3х^2 = 0
2х^2( х^2 - 2,5х + 1,5 ) = 0
2х^2 ; Х = 0
Х^2 - 2,5х + 1,5 = 0
D = 6,25 - 6 = 0,25 = 0,5^2
X1 = ( 2,5 + 0,5 ) : 2 = 1,5
X2 = ( 2,5 - 0,5 ) : 2 = 1
ответ 0 ; 1,5 ; 1