Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. График квадратичной функции – парабола.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим см. в приложении)
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции(также см приложение).
Разберем общий алгоритм на примере y = 2x2 + 3x - 5.
Как строим:
Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x2 + 3x - 5.
D = b2 - 4ac = 9 - 4 * 2 * (-5) = 49 > 0
√D = 7
В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:
2x2 + 3x - 5 = 0
Х1=-3+7/4=1
Х2=-3-7/4=-2,5
Подставляем полученные значения :
Х0=-b/2a=-3/4 =-0,75
Y0=D/4a=-49/8=-6,125
Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы(см закреп)
2x^2 + xy - y^2 =20 |*13
x^2 - 4xy + 7y^2 = 13 |*-20
x, y ≠ 0
26x^2 + 13xy - 13y^2 =260
-20x^2 + 80xy - 140y^2 = -260
Складываем
6x^2 + 93xy - 153y² = 0 | :y²
6(x/y)² + 93x/y - 153 = 0
x/y = t
6t² + 93t - 153 = 0
D = 93² + 4*6*153 = 12321 = 111²
t12 = (-93 +- 111)/12 = -17 3/2
1. x/y = -17
x = -17y
2x^2 + xy - y^2 =20
2(-17y)^2 + y*(-17y) - y^2 = 20
560y^2 = 20
y^2 = 1/28
y1 = √1/28 = √7/14
x = -17y
x1 = -17√7/14
y2 = -√7/14
x2 = 17√7/14
2. x/y = 3/2
2x^2 + xy - y^2 =20
2(3/2y)^2 + y*3/2y - y^2 = 20
9/2y^2 + 3/2y^2 - y^2 = 20
5y^2 = 20
y^2 = 4
y3 = 2
x3 = 3
y4 = -2
x4 = -3
ответ (3,2)(-3,-2)( -17√7/14, √7/14) (17√7/14, -√7/14)
