1) Вспоминаем и (или) выводим формулы sin (pi + 2a) = -sin 2a sin 3a = sin(2a + a) = sin 2a*cos a + cos 2a*sin a = = 2sin a*cos a*cos a + (1 - 2sin^2 a)*sin a = = sin a*(2cos^2 a - 2sin^2 a + 1) = sin a*(2 - 2sin^2 a - 2sin^2 a + 1) Получаем sin 3a = sin a*(3 - 4sin^2 a) Аналогично cos 3a = cos a*(4cos^2 a - 3) Подставляем (sin a*(1 - 3 + 4sin^2 a)) / (cos a*(1 - 4cos^2 a + 3)) + cos 2a / sin 2a = = tg a*(4sin^2 a - 2) / (4 - 4cos^2 a) + ctg 2a = -2tg a/(4sin^2 a)*cos 2a + ctg 2a = = ctg 2a - sin a/cos a*cos 2a/(2sin^2 a) = ctg 2a - cos 2a/(cos a*2sin a) = = ctg 2a - cos 2a/sin 2a = ctg 2a - ctg 2a = 0
2) У вас опечатка. Вместо = cos(3pi + 2a) должно быть + cos(3pi + 2a) Числитель sin^4 a + 2sin a*cos a - cos^4 a = sin^4 a - cos^4 a + sin 2a = = (sin^2 a + cos^2 a)(sin^2 a - cos^2 a) + sin 2a = 1*(-cos 2a) + sin 2a = = sin 2a - cos 2a = cos 2a*(sin 2a/cos 2a - 1) = cos 2a*(tg 2a - 1) Поэтому дробь равна cos 2a Получаем cos 2a + cos(3pi + 2a) = cos 2a - cos 2a = 0
«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k + 1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.
«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k + 1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.
sin (pi + 2a) = -sin 2a
sin 3a = sin(2a + a) = sin 2a*cos a + cos 2a*sin a =
= 2sin a*cos a*cos a + (1 - 2sin^2 a)*sin a =
= sin a*(2cos^2 a - 2sin^2 a + 1) = sin a*(2 - 2sin^2 a - 2sin^2 a + 1)
Получаем
sin 3a = sin a*(3 - 4sin^2 a)
Аналогично
cos 3a = cos a*(4cos^2 a - 3)
Подставляем
(sin a*(1 - 3 + 4sin^2 a)) / (cos a*(1 - 4cos^2 a + 3)) + cos 2a / sin 2a =
= tg a*(4sin^2 a - 2) / (4 - 4cos^2 a) + ctg 2a = -2tg a/(4sin^2 a)*cos 2a + ctg 2a =
= ctg 2a - sin a/cos a*cos 2a/(2sin^2 a) = ctg 2a - cos 2a/(cos a*2sin a) =
= ctg 2a - cos 2a/sin 2a = ctg 2a - ctg 2a = 0
2) У вас опечатка. Вместо = cos(3pi + 2a) должно быть + cos(3pi + 2a)
Числитель
sin^4 a + 2sin a*cos a - cos^4 a = sin^4 a - cos^4 a + sin 2a =
= (sin^2 a + cos^2 a)(sin^2 a - cos^2 a) + sin 2a = 1*(-cos 2a) + sin 2a =
= sin 2a - cos 2a = cos 2a*(sin 2a/cos 2a - 1) = cos 2a*(tg 2a - 1)
Поэтому дробь равна cos 2a
Получаем
cos 2a + cos(3pi + 2a) = cos 2a - cos 2a = 0