Question

Найдите область значений функции y=х^2-4х-7 где х принадлежит [-1; 5]

Answer 1

$y= x^2-4x-7$

x∈[-1;5]

найдем координаты вершины параболы

$x= \frac{-b}{2a}= \frac{4}{2}=2$

x=2 лежит в заданном промежутке

$y(2)= 4-8-7=-11$

координаты вершины  (2;-11)

найдем значение на границах

$y(-1)=1+4-7=-2 y(5)=25-20-7=-2$

область значения функции на промежутке [-1;5]

E(y) [-11;-2]

Answer 2

Исходная функция рассматривается лишь при икс из отрезка [-1;5].
dy/dx = 2x - 4.
2x-4 = 0, <=> x=2;
2x-4>0, <=> x>2;
2x-4<0, <=> x<2.
На отрезке [-1;2] y(x) убывает.
На отрезке [2;5] y(x) возрастает.
Поэтому x=2 - это точка минимума.
В силу непрерывности данной в условии функции она принимает все значения от y(2) до max{ y(-1); y(5) } (крайние точки включаются).
y(2) = 2*2 - 4*2 - 7 = 4-8-7 = -4-7 = -11,
y(-1) = 1 + 4 - 7 = 5-7 = -2;
y(5) = 25 - 20 - 7 = 5-7 = -2.
Область значений функции y(x) это [-11;-2].