Question

Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4+sin^2 альфа

Answer 1

$\sf \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}$

Косинус изменяется от -1 до 1, тогда, оценим в виде двойного неравенства

$-1\leqslant \cos2\alpha\leqslant1\\ \\ -1\leqslant-\cos2\alpha\leqslant1~~~|+1\\ \\ 0\leqslant1-\cos2\alpha\leqslant2~~~|:2\\ \\ 0\leqslant\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}\leqslant1~~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~ 0\leqslant\sin^2\alpha\leqslant1$

$0\leqslant\sin^2\alpha\leqslant1~~~~|+4\\ \\ 4\leqslant4+\sin^2\alpha\leqslant5$

Наименьшее значение 4, а наибольшее — 5. Сумма наибольшего и наименьшего значений выражения, равна 5+4 = 9.

ответ: 9.

Answer 2

|sinα| ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin²α  ≤ 1 ⇒ 4 ≤ sin²α + 4 ≤ 5  (1)

Пусть f(α) = sin²α + 4 ;  f(0) = 4 ; f(π/2) = 5 ;  из неравенства ( 1 )

следует , что 4 и 5 наименьшее и наибольшее значения

функции f(α)  и их сумма равна 9

ответ : 9