Question

Докажите что дробь 7^49+2^35/10 сократима

Answer 1

Дробь сократима, если её числитель и  знаменатель имеют хотя бы один общий делитель, отличный от единицы.

$\dfrac{7^{49}+2^{35}}{10}$ будет сократимой, если $7^{49}+2^{35}$ делится на $5$ или $2$. А для того чтобы число делилось на $5$, нужно чтобы это число заканчивалось на $0$ или на $5$. А для делимости числа на $2$ нужно чтобы число заканчивалось на четную цифру.

Выписывая первые степени семёрки 
$7^7=7 \\ 7^2=\dots 9 \\ 7^3= \dots 3 \\ 7^4=\dots 1 \\ 7^5=\dots 7 \\ 7^6=\dots 9 \\ 7^7=\dots 3 \\ 7^8=\dots 1 \\ 7^9=\dots 7$ 
, получаем закономерность:
$7^{2n}=\dots1 \\ 7^{2n+1}=\dots7 \\ 7^{2m}=\dots9 \\ 7^{2m+1}\dots3$
, где $n$ — чётное натуральное число, $m$ — нечётное натуральное число.

То же делаем и для степеней двойки:
$2^1=1 \\ 2^2=4 \\ 2^3=8 \\ 2^4=\dots6 \\ 2^5=\dots2 \\ 2^6=\dots4 \\ 2^7=\dots8 \\ 2^8=\dots6 \\ 2^9=\dots2$

$2^{2n}=\dots6 \\ 2^{2n+1}=\dots2 \\ 2^{2m}=\dots4 \\ 2^{2m+1}=\dots8$ 
 , где $n$ — чётное натуральное число, $m$ — нечётное натуральное число.

Т.к. $49=24\cdot2+1$ , то $7^{49}=\dots7$.
Т.к. $35=17\cdot2+1$ , то $2^{35}=\dots8$.
Значит $7^{49}+2^{35}=\dots7+\dots8=\dots5$.

Получается, и числитель, и знаменатель дроби $\dfrac{7^{49}+2^{35}}{10}$ делятся на $5$, значит, дробь сократима.