Question

Cos2x-1=√2sin(5п/2-x) и укажите корни этого уравнения принадлежащего отрещку [-3π/2; π]

Answer 1

$cos2x-1=\sqrt2sin(\frac{5\pi}{2}-x)\\-2sin^2x=\sqrt2sin(2\pi+(\frac{\pi}{2}-x))\\-2(1-cos^2x)=\sqrt2sin(\frac{\pi}{2}-x)\\-2+2cos^2x=\sqrt2cosx\\cosx=u\\2u^2-\sqrt2u-2=0\\D:2+16=18\\x_1,_2=\frac{\sqrt2\pm3\sqrt2}{4}\\\\x_1=\sqrt2\\cosx \in[-1;1], \quad cosx \neq \sqrt2;\\\\x_2=-\frac{\sqrt2}{2}\\cosx=-\frac{\sqrt2}{2}\\x=\pm(\pi-arccos\frac{\sqrt2}{2})+2\pi n\\x=\pm(\pi-\frac{\pi}{4})+2\pi n\\x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \; n\in Z;$

Можно найти корни принадлежащие заданному отрезку подставляя целые числа за n и вычисления покажут какие из корней принадлежат отрезку, а какие нет. Это будет выглядеть так:
$\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \; n\in Z\\n_1=0=\frac{3\pi}{4};\\n_2=1=\frac{3\pi}{4}+2\pi=\frac{11\pi}{4} \; \;X;\\n_3=-1=\frac{3\pi}{4}-2\pi=-\frac{5\pi}{4};\\\\-\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \; n\in Z\\n_4=0=-\frac{3\pi}{4};\\n_5=-1=-\frac{3\pi}{4}-2\pi=-\frac{11\pi}{4} \; \; X\\\\x=\pm\frac{3\pi}{4}; \; -\frac{5\pi}{4}.$

Или другой что проще, найти корни на координатной прямой: снимок во вложении.