Question

F(x)=(x+1)^2(2-x) исследуйте функцию подробно ,график не обязательно,построила с проги,,не шарю( актуально сегодня,хелп

Answer 1

Общая схема исследования функции:

Найти ОДЗ и точки разрыва функции. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Провести исследование функции с первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания. Исследовать функцию с производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные. На основании проведенного исследования построить график функции.

1. Здесь функция ограничений не имеет, точек разрыва тоже не имеет, т.е. существует для всех действительных х. Область определения функции: D(f) = R

2. Точки пересечения с осями координат.

      2.1. Точки пересечения с осью абсцисс

Чтобы найти точки пересечения с осью Ох, нужно принять y=0:

$(x+1)^2(2-x)=0\\ x_1=-1\\ x_2=2$

    2.2. Точки пересечения с осью ординат.

Здесь нужно принять x=0 и подставив в функцию, получим y=2

3. Найдем производную функции

$f'(x)=((x+1)^2(2-x))'=((x+1)^2)'(2-x)+(x+1)^2(2-x)'=\\ =2(x+1)(2-x)+(x+1)^2\cdot(-1)=(x+1)(4-2x-x-1)=(x+1)(3-3x)$

Приравниваем производную функции к нулю

$f'(x)=0;~~~ (x+1)(3-3x)=0\\ x_1=-1\\ x_2=1$

___-____(-1)____+___(1)_____-__

Функция возрастает на промежутке (-1;1), а убывает - (-∞;-1) и (1;+∞). В точке х=-1 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, точка х=-1 имеет локальный минимум, а в точке x=1 производная функции меняет с (+) на (-), имеем локальный максимум в точке х=1.

Найдем теперь вторую производную

$f''(x)=((x+1)(3-3x))'=(x+1)'(3-3x)+(x+1)(3-3x)'=\\ =3-3x-3(x+1)=3-3x-3x-3=-6x\\ f''(x)=0;~~~ -6x=0\\ x=0$

(0;2) - точка перегиба

Вертикальной асимптоты нет.

Поскольку предел f(x) и f(x)/x при х $\to\infty$ равен $\infty$, то горизонтальной и наклонной асимптот нет.