Question

Нужно! решите неравенство :
5^(х+2/х)-1/2*10^(х+1/х)+2^(1/х)-5^(1/х) > 0

Answer 1

$\displaystyle 5^\big{\frac{x+2}{x}}-\frac{1}{2}\cdot 10^\big{\frac{x+1}{x}}+2^\big{\frac{1}{x}}-5^\big{\frac{1}{x}}0$

Во втором слагаемом применим свойство степени $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$

$\displaystyle 5^\big{\frac{x+2}{x}}-\frac{1}{2}\cdot \left(5\cdot 2\right)^\big{\frac{x+1}{x}}+2^\big{\frac{1}{x}}-5^\big{\frac{1}{x}}0\\ \\ 5^\big{\frac{x+2}{x}}-\frac{1}{2}\cdot 5^\big{\frac{x+1}{x}}\cdot 2^\big{\frac{x+1}{x}}+2^\big{\frac{1}{x}}-5^\big{\frac{1}{x}}0\\ \\ 5\cdot 5^\big{\frac{2}{x}}-5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}\cdot 2^\big{\frac{1}{x}}+2^\big{\frac{1}{x}}-5^\big{\frac{1}{x}}0\\ \\$

$5^\big{\frac{1}{x}}\left(5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}-1\right)-2^\big{\frac{1}{x}}\left(5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}-1\right)0\\ \\ \left(5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}-1\right)\left(5^\big{\frac{1}{x}}-2^\big{\frac{1}{x}}\right)0$

$\left(5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}-1\right)\left(5^\big{\frac{1}{x}}-2^\big{\frac{1}{x}}\right)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда один из множителей равен нулю.

$5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}-1=0~~~\Rightarrow~~5^\big{\frac{1}{x}}=5^{-1}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{1}{x}=-1~~~\Rightarrow~~~ x=-1\\ \\ 5^\big{\frac{1}{x}}-2^\big{\frac{1}{x}}=0~~\Rightarrow~~~ \left(\dfrac{5}{2}\right)^\big{\frac{1}{x}}=1~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{1}{x}=0~~\Rightarrow~~ \oslash$

Также заметим, что x ≠ 0.

$x \in (-1;0)\cup(0;+\infty).~~~-\mathbb{OTBET}$