4x^2 + 24xy + 11y^2 = 20 Задача несложная, но много писанины. Замена, означающая поворот системы координат на угол а. Цель - избавиться от члена 24xy. u, v - новые координаты. x = u*cos a + v*sin a y = u*sin a - v*cos a 4(u*cos a + v*sin a)^2 + 24(u*cos a + v*sin a)(u*sin a - v*cos a) + + 11(u*sin a - v*cos a)^2 = 20
4(u^2*cos^2 a + 2uv*sin a*cos a + v^2*sin^2 a) + + 24(u^2*sin a*cos a + uv*sin^2 a - uv*cos^2 a - v^2*sin a*cos a) + + 11(u^2*sin^2 a - 2uv*sin a*cos a + v^2*cos^2 a) = 20
4u^2*cos^2 a + 8uv*sin a*cos a + 4v^2*sin^2 a + + 24u^2*sin a*cos a + 24uv*sin^2 a - 24uv*cos^2 a - 24v^2*sin a*cos a + + 11u^2*sin^2 a - 22uv*sin a*cos a + 11v^2*cos^2 a = 20
u^2*(4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) + + v^2*(4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) + + uv*(24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20
Находим, при каком угле а скобка при uv равна 0 24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a = 0 Делим все на 2cos^2 a 12tg^2 a - 7tg a - 12 = 0 Квадратное уравнение относительно tg a D = 7^2 - 4*12(-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2 tg a = (7 - 25)/24 < 0 - не подходит tg a= (7 + 25)/24 = 32/24 = 4/3 - подходит. Нетрудно посчитать, что sin a = 4/5; cos a = 3/5 Подставляем в уравнение u^2*(4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) + + v^2*(4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) + + uv*(24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20 Получаем u^2*(4*9/25 + 24*4/5*3/5 + 11*16/25) + + v^2*(4*16/25 - 24*4/5*3/5+11*9/25) + uv*0 = 20 Упрощаем u^2*(36/25+288/25+176/25) + v^2*(64/25-288/25+99/25)=20 u^2*500/25 - v^2*125/25 = 20 20u^2 - 5v^2 = 20 u^2 - v^2/4 = 1 Это гипербола с центром (0, 0) и полуосями 1 и 2 Чертеж сами делайте, я в Пайнте не могу.
![\frac{1}{ \sqrt[3]{9} }](/tpl/images/0684/7891/4683d.png)
, a(n)=a1*q^(n-1)=3*![( \frac{1}{ \sqrt[3]{9} }) ^{n-1}=3*( \sqrt[3]{9} )^{1-n}](/tpl/images/0684/7891/5698f.png)
;
График ф-ции - парабола ветвями вверх. Ее значения от у(верш.) до ∞.
у=3х²-6х+1
Найдем х(верш.)=-в/2а=6/6=1
у(верш)=3*1²-6*1+1=-2.
Область значений ф-ции Е(у)∈[-2; ∞).
ИЛИ у'=6x-6=0; x=1; y(1)=-2; E(y)∈[-2; ∞).