Question

Log по основанию 2x+3 (3x+2)+ log по основанию 3x+2 (2x+3)=2. как это решить? можно с объяснением и какой метод используем в данном примере

Answer 1

ОДЗ:
1. 
$\left \{ {{2x+3\ \textgreater \ 0} \atop {2x+3 \neq 1}} \right. , \left \{ {{2x\ \textgreater \ -3} \atop {2x \neq -2}} \right. , \left \{ {{x\ \textgreater \ -1,5} \atop {x \neq -1}} \right.$
=> x∈(-1,5;-1)∪(-1;∞)
2. 
$\left \{ {{3x+2\ \textgreater \ 0} \atop {3x+2 \neq 1}} \right. , \left \{ {{x\ \textgreater \ - \frac{2}{3} } \atop {x \neq - \frac{1}{3} }} \right.$
=> x∈(-2/3; -1/3)∪(-1/3;∞)
3. $\left \{ {{2x+3\ \textgreater \ 0} \atop {3x+2\ \textgreater \ 0}} \right. , \left \{ {{x\ \textgreater \ -1,5} \atop {x\ \textgreater \ - \frac{2}{3} }} \right.$
=> x>-2/3

ОДЗ:
x∈(-2/3; -1/3)∪(-1/3;∞)
формула перехода к новому основанию с:
$log_{a} b= \frac{ log_{c}b }{ log_{c} a}$

перейти к основанию а= 2х+3:
$log_{2x+3} (3x+2)+ \frac{1}{ log_{2x+3} (3x+2)} =2 |* log_{2x+3} (3x+2)$
$( log_{2x+3} (3x+2))^{2} -2* log_{2x+3} (3x+2)+1=0$
логарифмическое квадратное уравнение, замена переменной:
$log_{2x+3} (3x+2)=t$
t²-2t+1=0
(t-1)²=0,  t=1
обратная замена:
$t=1 log_{2x+3}(3x+2)=1$
по определению логарифма:
(2x+3)¹=3x+2
2x-3x=2-3
x=1
x∈(-2/3;-1/3)∪(-1/3;∞)

ответ: х=1