Для начала, нужно разобраться с самим неравенством ctgx > -√3 (где ctgx обозначает котангенс) и представить его в виде графика на координатной плоскости.
1. Построение графика функции ctgx:
а) Для начала построим график функции tg(x) на интервале (-π/2, π/2). Для этого нам потребуется таблица значений.
x | tg(x)
─────|─────────
-π/2 | -∞
-π/4 | -1
0 | 0
π/4 | 1
π/2 | ∞
б) По полученной таблице значений строим график функции tg(x) на указанном интервале. График будет проходить через точки (-π/2, -∞), (-π/4, -1), (0, 0), (π/4, 1) и (π/2, ∞).
в) Для получения графика функции ctgx(x) достаточно перевернуть по горизонтали график функции tg(x). То есть, если в точке (x, y) на графике функции tg(x) значение y равно -∞, то на графике функции ctgx(x) это значение будет ∞, и наоборот.
г) Нам необходимо помнить, что котангенс, как функция, имеет период π, поэтому график будет повторяться на каждом интервале длиной π.
2. Построение графика y = -√3:
а) График этой функции будет выглядеть как горизонтальная линия, параллельная оси x и проходящая через точку (-√3, 0).
3. Поиск точек пересечения графиков:
Нам необходимо найти значения x, при которых ctgx равно -√3, то есть точки пересечения графиков ctgx и y = -√3.
а) Находим период ctg(x), который равен π.
б) Проверяем значения ctg(x) и сравниваем с -√3 на интервалах (0, π) и (-π, 0). Первое пересечение будет на интервале (0, π). Для этого выбираем точку на половине этого интервала (приближенно, π/2) и получаем значение ctg(π/2) = 0 (ctg(π/2) = 1/tg(π/2) = 1/∞ ≈ 0). Значит, этой точки пересечения нет, и график неравенства не пересекает ось x в интервале (0, π).
в) Делаем аналогичные действия для интервала (-π, 0), выбираем точку на половине этого интервала (приближенно, -π/2) и получаем значение ctg(-π/2) = 0 (ctg(-π/2) = 1/tg(-π/2) = 1/-∞ ≈ 0). Значит, на интервале (-π, 0) график неравенства ctgx > -√3 также не пересекает ось x.
г) То есть, мы не нашли точек пересечения графиков и выводим, что неравенство ctgx > -√3 не имеет решений.
В конечном итоге получаем, что график неравенства ctgx > -√3 представлен графиком функции ctgx, который не пересекает горизонтальную линию y = -√3 на интервалах (0, π) и (-π, 0).
