Question

все , что есть.. - найти частное решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.

Answer 1

Найти частное решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.

Алгоритм решения неоднородного ДУ следующий:

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения y``+y`-2y=0

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\displaystyle k^2+k-2=0\\\\D=1+8=9\\\\k_1=1; k_2=-2$

получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

$\displaystyle y=C_1*e^{-2x}+C_2*e^{x}$

2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения

в правой части 4e²ˣ-2x+1. Значит предположу что частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде: y=Аe²ˣ+Bx+C

Найдём первую и вторую производную:

$\displaystyle y`=(A*e^{2x}+Bx+C)`=2A*e^{2x}+B\\\\y``=(2A*e^{2x}+B)`=4A*e^{2x}$

подставим в левую часть

$\displaystyle y``+y`-2y=4A*e^{2x}+(2A*e^{2x}+B)-2(Ae^{2x}+Bx+C)=\\\\=4Ae^{2x}+2Ae^{2x}+B-2Ae^{2x}-2Bx-2C=\\\\=4Ae^{2x}-2Bx+(B-2C)$

и теперь приравняем к правой

$\displaystyle 4Ae^{2x}-2Bx+(B-2C)=4e^{2x}-2x+1$

отсюда составим систему

$\displaystyle \left \{ {{4A=4; -2B=-2} \atop {B-2C=1}} \right. \]\\\\A=1; B=1;C=0$

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

$\displaystyle y=C_1e^{-2x}+C_2*e^{x}+e^{2x}+x$

4) теперь найдем частное решение

y(0)=3; y`(0)=5

$\displaystyle y(0)=C_1+C_2+1=3; C_1+C_2=2\\\\y`(0)=-2C_1+C_2+2=5; C_2-2C_1=3\\\\$

решая систему получим

$\displaystyle C_2=2-C_1\\\\2-C_1-2C_1=3; C_1=-\frac{1}{3}\\\\ C_2=\frac{7}{3}$

$\displaystyle y= -\frac{1}{3}e^{-2x}+\frac{7}{3}e^x+e^{2x}+x$