Question

Докажите, что любую функцию с симметричной относительно точки 0 областью определения можно представить в виде суммы чётной и нечётной функции.

Answer 1

Пусть f(x) - произвольная функция из условия задачи. Запишем тождество

$f(x) = f(x)\\\\ f(x) = \frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(x)\\\\ f(x) = \frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(-x)+\frac{1}{2}f(x)-\frac{1}{2}f(-x)\\\\ f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}$

Так как область определения симметрична, подобное разложение корректно. В то же время мы видим, что первая дробь является четной функцией (замена x на минус x не меняет дробь), а вторая - является четной функцией (замена x на минус x меняет знак у всей дроби)