x - искомое четырехзначное число
x = 1000a+100b+10c+d, а - число тысяч, b - число сотен, с - число десятков, d - число единиц (0<a<10; 0<b<10; 0<c<10; 0<d<10)
a и d - крайние числа => a^2+d^2=65
b и с - вторая и третья цифры => b^2-c^2=27
Решим первое уравнение, учитывая, что a и d - натуральные числа: (1;8);(8;1);(4;7);(7;4)
Второе уравнение можно расписать так: (b-c)(b+c)=3^3. Это уравнение можно расписать как совокупность из четырех систем уравнений (учитывая, что (b-с) и (b+с) - натуральные числа, так как b и с - натуральные): 1) b-c=1 и b+c=3^3=27; 2) b-c=3 и b+c=3^2=9; 3)b-c=3^2=9 и b+c=3; 4)b-c=3^3=27 b b+c=1. Решая первую систему, получаем (14;13) - это не удовлетворяет условию 0<b<10 и 0<c<10. Решая вторую систему, получаем (6:3) - удовлетворяет нужным условиям. Решая третью систему, получаем (6;-3) - не удовлетворяет условию 0<c<10. Решая последнюю систему, получаем (14;-13) - не удовлетворяет условиям 0<b<10 и 0<c<10. Значит искомые числа b и с равны 6 и 3 соответственно.
Соединяя числа 6 и 3 и числа, полученные при решении уравнения a^2+d^2=65, получаем варианты искомого четырехзначного числа: 1638, 8631, 4637, 7634. Прибавляя к каждому числу 2727, убеждаемся, что искомое число - 4637 (так как 4637+2727=7364, то есть записанное искомое число в обратном порядке)
ответ: 4637
b1+b2+b3=112
b4+b5+b6=14
bn=b1*q^(n-1) - формула n-го члена геометрической прогрессии
=> b2 = b1*q; b3=b1*q^2; b4=b1*q^3; b5=b1*q^4; b6=b1*q^5
b1+b1q+b1q^2=112
b1q^3+b1q^4+b1q^5=14
Вынесем за скобку из первого уравнения b1: b1(1+q+q^2)=112
Вынесем за скобку из второго уравнения b1q^3: b1q^3(1+q+q^2)=14
Выразим из первого уравнения (1+q+q^2): 1+q+q^2=112/b1
Подставим во второе уравнение: b1q^3*(112/b1)=14
q^3*112=14
q^3=1/8
q=1/2
Из первого уравнения: b1=112/(1+q+q^2)=112/(1+1/2+1/4)=112/(7/4)=16*4=64
ответ: 64
