Точка В належить осі аплікат, тому її координати дорівнюють (t, t, t), де t - параметр.
Використаємо формулу для знаходження рівнобедреного трикутника за векторами:
S = 1/2 * AB * CD * sin(AC, BD),
де AB і CD - відповідні сторони трикутника, AC і BD - відповідні висоти трикутника, sin(AC, BD) - кут між векторами AC і BD.
Знайдемо відповідні вектори:
AB = B - A = (t, t, t) - (1, 1, -2) = (t - 1, t - 1, t + 2).
CD = D - C = (t, t, t) - (-3, 3, 2) = (t + 3, t - 3, t - 2).
Вектори AC і BD є проекціями векторів AB і CD на нормальний вектор до площини трикутника, тож їх можна знайти за до скалярного добутку відповідних векторів і нормального вектора. Нормальний вектор до площини трикутника можна знайти як векторний добуток векторів AB і CD:
n = AB x CD.
nₓ = (t - 1)(t - 2) - (t + 3)(t + 2) = -8,
nᵧ = (t - 1)(t + 2) - (t + 3)(t - 2) = -8t,
nz = (t - 1)(t + 3) - (t + 3)(t - 1) = -8.
Тож n = (-8, -8t, -8).
AC = |AB| * cos(φ),
BD = |CD| * cos(φ),
де φ - кут між векторами AC і BD. Цей кут дорівнює куту між вектором n та вектором AB (або CD), тобто:
cos(φ) = (AB, n) / |AB| / |n|.
(AB, n) = (-8t - 16(t - 1)) + (-8t - 16(t - 1)) - 8(t - 1)(t + 3) = -56t - 104.
|AB| = sqrt((t - 1)² + (t - 1)² + (t + 2)²) = sqrt(3t² + 6t + 6),
|n| = sqrt(64 + 64t² + 64).
Отже,
AC = sqrt(3t² + 6t + 6) * (-56t - 104) / sqrt(64 + 64t² + 64),
BD = sqrt(3t² + 6t + 6) * (-56t - 104) / sqrt(64 + 64t² + 64).
P = AC + BD = 2 * sqrt(3t² + 6t + 6) * (-56t - 104) / sqrt(64 + 64t² + 64) і
S = 1/2 * AB * CD * sin(AC, BD) = 1/2 * sqrt(3t² + 6t + 6) * sqrt(3t² + 6t + 6) * sin(φ) = 1/2 * sqrt(3t² + 6t + 6)² * |-1| = 1/2 * (3t² + 6t + 6) = 3/2 * (t² + 2t + 2).
Отже, площа рівнобедреного трикутника АВС з основою АС дорівнює 3/2 * (t² + 2t + 2), де t - параметр вісі аплікат.
Градусні міри двох частин кола, що утворюються хордою MN, відносяться як 18 : 72. Знайдемо загальну градусну міру кола.
Сума градусних мір двох частин кола дорівнює 360 градусів, оскільки це повна міра кола.
Запишемо рівняння на основі даної умови:
18x + 72x = 360,
де x - коефіцієнт, який відповідає градусній мірі меншої частини кола.
Скоротимо коефіцієнти на їхній найбільший спільний дільник, яким є 18:
x + 4x = 20,
5x = 20,
x = 4.
Отже, градусна міра меншої частини кола дорівнює 4 * 18 = 72 градуси.
Таким чином, з точки K, розташованої на меншій частині кола, цю дугу видно під кутом 72 градуси.
Значение производной при х = (3π/4):
f′(3π/4) = 3(sin(9π/4)+cos(9π/4)) = 3(sin(π/4)+cos(π/4)) =
= 3((√2/2)+(√2/2)) = 3√2.