Question

При каком значении a система
(a-1)x-y=2
8x+(a-7)y=a-1
имеет бесконечное множество решений?

Answer 1

Пусть общий вид линейной системы уравнений $\displaystyle \left \{ {{a_1x+b_1y=c_1} \atop {a_2x+b_2y=c_2}} \right.$, тогда эта система имеет бесконечно множество решений, если $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$

В нашем случае система имеет бесконечно множество решений, когда

$\dfrac{a-1}{8}=\dfrac{-1}{a-7}=\dfrac{2}{a-1}$

$\dfrac{a-1}{8}=-\dfrac{1}{a-7}~~~\Rightarrow~~~ (a-1)(a-7)=-8~~\Rightarrow~~ a^2-8a+7=-8\\ \\ a^2-8a+15=0$

По теореме Виета

$a=3\\ a=5$

$\dfrac{a-1}{8}=\dfrac{2}{a-1}~~~\Rightarrow~~~ (a-1)^2=16~~\Rightarrow~~ a-1=\pm4\\ \\ a=5\\ a=-3$

$-\dfrac{1}{a-7}=\dfrac{2}{a-1}~~~\Rightarrow~~~-a+1=2a-14~~~\Rightarrow~~~3a=15~~\Rightarrow~~ a=5$

Из всех что подходит только a = 5.

ответ: при a = 5 система имеет бесконечно множество решений.