Задано арифметичну прогресію з першим членом а1 = -8 та 25-им членом а25 = 136. Ми хочемо знайти значення 12-го члена а12.
Для знаходження а12 можемо скористатись формулою загального члена арифметичної прогресії:
аn = а1 + (n - 1) * d,
де n - номер члена, а1 - перший член, d - різниця між сусідніми членами прогресії.
Ми знаємо, що а1 = -8, а25 = 136. Застосуємо формулу для обчислення різниці d:
а25 = а1 + (25 - 1) * d,
136 = -8 + 24 * d.
Розв'яжемо це рівняння відносно d:
24d = 136 + 8,
24d = 144,
d = 144 / 24,
d = 6.
Тепер, ми можемо знайти а12, використовуючи формулу загального члена:
а12 = а1 + (12 - 1) * d,
а12 = -8 + 11 * 6,
а12 = -8 + 66,
а12 = 58.
Отже, значення 12-го члена арифметичної прогресії а 12 дорівнює 58.
Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції f(x) в точці з абсцисою x₀, ми використовуємо наступний загальний вигляд:
y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀),
де f'(x₀) - похідна функції f(x) в точці x₀.
Давайте спочатку знайдемо похідну функції f(x):
f'(x) = 6x - 4.
Тепер підставимо значення x₀ = 2 в похідну функції:
f'(2) = 6(2) - 4 = 12 - 4 = 8.
Отже, похідна функції f(x) в точці x₀ = 2 дорівнює 8.
Тепер підставимо значення x₀ = 2, f(x₀) = f(2) в загальне рівняння дотичної:
y - f(2) = 8(x - 2).
Залишається замінити f(2) значенням функції f(x) при x = 2:
f(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 3(4) - 8 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5.
Отже, рівняння дотичної до графіка функції f(x) = 3x^2 - 4x + 1 в точці з абсцисою x₀ = 2 має вигляд:
y - 5 = 8(x - 2).
