Обозначим a1 + a2 + ... + ak = Sk, S(k+1) = Sk +- 1, S2n = 0. Можно считать, что a1 = 1. Нам необходимо посчитать количество последовательностей, для которых S1 = 1, все Sk >= 0 и S2n = 0. Такие последовательности будем называть правильными, а не являющиеся правильными - неправильными.
Общее число последовательностей, для которых S1 = 1 и S2n = 0, равно биномиальному коэффициенту из (2n - 1) по (n - 1) (понятно, что среди a2, a3, ..., a2n есть ровно (n - 1) число +1, так что нужно найти число выбрать (n - 1) место из (2n - 1)).
Посчитаем количество неправильных последовательностей. Я утверждаю, что общее число неправильных последовательностей равно общему числу последовательностей, у которых S1 = -3 и S2n = 0. Доказательство. Пусть a1, a2, ..., a2n - неправильная последовательность. Это означает, что для какого-то номера k выполнилось Sk = -1. Пусть k - первый номер, для которого это верно. Заменим все члены a2, a3, ..., ak на -a2, -a3, ..., -ak и подберем новое значение a1 так, чтобы по-прежнему было Sk = -1. Тогда a1 = -3. Поскольку каждой неправильной последовательности соответствует ровно одна новая последовательность, и из каждой новой последовательности можно получить только одну неправильную последовательность, то их количества равны.
Количество неправильных последовательностей с учетом утверждения легко посчитать. Если a1 = -3 и S2n = 0, то среди a2, a3, ..., a2n должно быть (n - 2) чисел -1 и (n + 1) число +1. Отсюда число неправильных последовательностей равно биномиальному коэффициенту из (2n - 1) по (n - 2).
Остается вспомнить, что число правильных последовательностей = общее число минус число неправильных последовательностей.
Используем теорему Байеса (подробнее - любой учебник по теории вероятностей, например Е. С. Вентцель). Обозначим вероятность гипотезы 1 (выбрана деталь, сделанная 1 автоматом) Р(Н1)=100/550=0,182 (550 - общее количество поступивших деталей, то есть 100+200+250=550 ). По аналогии Р(Н2)=200/550=0,364. Р(Н3)=250/550=0,455. Р(А|H1)=0,005 (вероятность брака 1 автомата), аналогично Р(А|H2)=0,01 Р(А|H3)=0,004. Теперь по формуле Байеса P(H1|A)=Р(Н1)*Р(А|H1)/(Р(Н1)*Р(А|H1)+Р(Н2)*Р(А|H2)+Р(Н3)*Р(А|H3))=
вынесли за скобки общий множитель (a+b)