Question

Найдите среднее арифметическое( в градусах) корней уравнения cos³x+sin³x =1 на промежутке [-2п; 2п]

Answer 1

$\sin^3x+\cos ^3x=1\\ \\ (\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=1\\ \\ (\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=1$

Пусть $\sin x+\cos x=t~~\left(|t|\leq\sqrt{2}\right)$, возведя обе части равенства, получим $1+2\sin x\cos x=t^2~~\Rightarrow~~ \sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}$

$t\left(1-\dfrac{t^2-1}{2}\right)=1~~~|\cdot 2\\ \\ 2t-t^3+t=2\\ \\ t^3-3t+2=0\\ \\ t^3-t^2+t^2-t-2t+2=0\\ \\ t^2(t-1)+t(t-1)-2(t-1)=0\\ \\ (t-1)(t^2+t-2)=0 \\ \\ (t-1)^2(t+2)=0\\ t_1=1\\ t_2=-2$

Второй корень t = -2 не удовлетворяет условию |t| ≤ √2.

$\sin x+\cos x=1\\ \\ \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\\ \\ \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ x=(-1)^{k}\cdot \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$

Отбор корней

n = 0; x = π/2n = 1;  x = πn = -1;  x = -πn = -2; x = -3π/2

Среднее арифметическое корней:

$\dfrac{\pi/2+\pi -\pi-3\pi/2}{4}=-\dfrac{\pi}{4}$ или это -45°