Question

Решить построить в одной системе y=log1/4 x и y=(1/4)^x a) 4^x+2^x-20=0 b) log4 (2x+3)=3 c)6sin^2 x- sin x =1 решить неравенство log1/3 (x -5)> 1 представьте в виде произведения cos (a+b)-cos(a-b).

Answer 1

1. Графики симметричны относительно прямой у=х. См. рисунок в приложении.
2.
a) 4ˣ+2ˣ-20=0
Замена переменной
2ˣ=t;    t>0
4ˣ=t²
t²+t-20=0
D=1+80=81
t₁=-5    t₂=4
t₁ не удовлетворяет условию t>0
2ˣ=4  ⇒  2ˣ=2²  ⇒  x=2.
О т в е т. х=2.

b) log₄ (2x+3)=3  ⇒ 4³=2х+3  ⇒  2х=64-3  ⇒2х=61  ⇒х=30,5
О т в е т. 30,5.

c)6sin²x- sin x =1
sinx=t
6t²-t-1=0
D=1+24=25
t=-1/3  или  t=1/2
sinx=-1/3⇒  x=arcsin(-1/3)+2πk, k∈Z или  х=π-arcsin(-1/3)+2πn, n∈Z
sinx=1/2 ⇒x=arcsin(1/2)+2πm, m∈Z или  х=π-arcsin(1/2)+2πs, s∈Z

О т в е т.  -arcsin(1/3)+2πk, π+arcsin(1/3)+2πn,  arcsin(1/2)+2πm,   π-arcsin(1/2)+2πs,  k, n, m,  s∈Z.

3.
log₁/₃ (x -5)>1;
log₁/₃ (x -5)>log₁/₃ (1/3)
Логарифмическая функция определена при х-5>0.
Логарифмическая функция с основанием  0<1/3<1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
(х-5)<1/3
Система неравенств:
{x-5>0    ⇒   x > 5
{x-5<1/3 ⇒    x<5целых 1/3
О т в е т. (5; 5 целых 1/3)

4.
По формуле  cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)
 
cos (α+β)-cos(α-β)=-2sin((α+β+α-β)/2)sin((α+β-α+β)/2)=-2sinαsinβ.