![1)\quad \int \frac{dx}{\sqrt{4-9x^2}} =\int \frac{dx}{\sqrt{2^2-(3x)^2}}=[t=3x,\; dt=3dx]=\\\\=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{\sqrt{2^2-t^2}}=\frac{1}{3}\cdot arcsin\frac{t}{2}+C=\frac{1}{3}\cdot arcsin\frac{3x}{2}+C](/tpl/images/0679/5911/97be8.png)
![2)\quad \int x\cdot cos(5x-7)dx=[u=x,\; du=dx,\; dv=cos(5x-7),\\\\v=\frac{1}{5}sin(5x-7)]=\frac{x}{5}sin(5x-7)-\frac{1}{5}\int sin(5x-7)dx=\\\\=\frac{x}{5}cos(5x-7)+\frac{1}{25}cos(5x-7)+C](/tpl/images/0679/5911/d326f.png)
1) (sin(2t))/(1+cos(2t)) *((сost)/(1+cos(t)) =
(((2sint)*(cost))/(2cos²t))*(cost/(2cos²(t/2)))=(tgt)*cost/(2cos²(t/2))=
(sint)/(2cos²(t/2))=(2sin(t/2))*cos(t/2)/(2cos²(t/2))=tg(t/2)
Bоспользовался дважды формулой (1+cosα)=2cos²α ; формулой синуса двойного аргумента sin2α=2(sinα)*(cosα) и tgα=sinα/cosα.
2) Докажем второе тождество, используя те же формулы.
((sin(2t))/(1+cos(2t)))*(cost/(1+cost))*(cos(t/2))/(1+cos(t/2))=tg(t/4)
1) упростим ((sin(2t))/(1+cos(2t)))=(2sint)(сost)/(2cos²t)=sint/(cost)=tgt
2) умножим (tgt)*(cost/(1+cost))=(sint)/(2cos²(t/2))=
(2sin(t/2))*(cos(t/2))/(2cos²(t/2))=tg(t/2)
3) умножим (tg(t/2))*((cos(t/2))/(1+cos(t/2))=sin(t/2)/(2cos²(t/4)=
(2sin(t/4)*(cos(t/4))/(2cos²(t/4))=tg(t/4)
Требуемое доказано.
