Question

Найдите площадь равнобедренной трапеции в которой даны основания a uk (а > k) и угол а при большем основании. [0,25(a^2-k^2)tga. 14. в равнобедренной трапеции меньшее основание а равно боковой стороне и угол при этом основании равен а. найдите площадь трапеции. [a^2 sin a(l — cos a).]

Answer 1

Задача 13.

Пусть боковая сторона трапеции будет x, а высота трапеции - h.

Площадь трапеции (любой) S равна произведению полусуммы оснований
на высоту. То есть,

S = 1/2*(a+k)*h

Выразим высоту h через x и угол alpha (угол при основании трапеции):

h = x*sin(alpha).

Очевидно, что длина основания равна (см. рис.):

a = x * cos(alpha) + k + x * cos(alpha) = 2 * x * cos(alpha)

Выразим отсюда x:

x = (a-k)/(2*cos(alpha))

Подставим х в формулу для высоты:

h = 1/2*(a-k)*sin(alpha)/cos(alpha) = 1/2*(a-k)*tg(alpha)

Возвращаемся к формуле для площади и подставляем в нее h:

S = 1/2*(a+k)*1/2*(a-k)*tg(alpha)

Поскольку (a+k)*(a-k) = a^2-k^2, то

S = 1/4*(a^2-k^2)*tg(alpha) <- ответ :)

p.s. 1/4 = 0.25



Задача 14.

Воспользуемся результатами предыдущей задачи :). alpha - угол
при __большем__ основании.

Высота трапеции h = a*sin(alpha) (теперь у нас x = a просто).

Тогда площадь трапеции S будет равна (приводим подобные члены,
выносим a^2 за скобки и сокращаем 2):

S = 1/2*(a + a*cos(alpha) + a + a*cos(alpha))*a*sin(alpha)
  = a^2*(1+cos(alpha))*sin(alpha)

Однако, в этой задаче в отличие от предыдущей alpha - это угол при
меньшем основании, а не при большем. Для того, чтобы в полученной
формуле перейти к углу к углу при меньшем основании, надо вспомнить,
что cos(180-alpha) = -cos(alpha). Сумма углов в равнобедренной трапеции
при меньшем и большем основаниях равна 180 градусов.

Тогла получаем ответ: S = a^2*(1-cos(alpha))*sin(alpha), alpha - угол
при меньшем основании, как и требуется в задаче.