Question

Решить систему уравнений (x+y)(xy-1)=3 (x^2+1)(y^2+1)=10

Answer 1

Возьмём первое уравнение
 $(x+y)(xy-1)=3$

Число 3 можно представить в виде:
 $3=3\cdot1=1\cdot3=(-1)\cdot(-3)=(-3)\cdot(-1)$

Имеем 4 системы:

$\left \{ {{x+y=3} \atop {xy-1=1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x=3-y} \atop {y(3-y)=2}} \right. \\ \\ y^2-3y+2=0$
По т. Виета:
 $y_1=1;\,\,\,\,\,\,\,x_1=3-y_1=2\\ \\ y_2=2;\,\,\,\,\,\,\,x_2=3-y_2=1$

$\left \{ {{x+y=1} \atop {xy-1=3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x=1-y} \atop {y(1-y)=4}} \right. \\ y-y^2=4\\ y^2-y+4=0\\ D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot4=-15\ \textless \ 0$

D<0, квадратное уравнение действительных корней не имеет.

$\left \{ {{x+y=-3} \atop {xy-1=-1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x+y=-3} \atop {xy=0}} \right. \\ x_3=0;\,\,\,\,\,\,\,y_3=-3\\ \\ y_4=0;\,\,\,\,\,\,\,x_4=-3$

$\left \{ {{x+y=-1} \atop {xy-1=-3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x=-1-y} \atop {y(-1-y)=-2}} \right. \\ \\ y^2+y-2=0$

По т. Виета:

$y_5=-2;\,\,\,\,\,\,\,x_5=1\\ \\ y_6=1;\,\,\,\,\,\,\,x_6=-2$

ответ: $(0;-3),(-3;0),(2;1),(1;2),(1;-2),(-2;1).$