М
Молодежь
К
Компьютеры-и-электроника
Д
Дом-и-сад
С
Стиль-и-уход-за-собой
П
Праздники-и-традиции
Т
Транспорт
П
Путешествия
С
Семейная-жизнь
Ф
Философия-и-религия
Б
Без категории
М
Мир-работы
Х
Хобби-и-рукоделие
И
Искусство-и-развлечения
В
Взаимоотношения
З
Здоровье
К
Кулинария-и-гостеприимство
Ф
Финансы-и-бизнес
П
Питомцы-и-животные
О
Образование
О
Образование-и-коммуникации
svetika0813
svetika0813
27.10.2021 05:49 •  Алгебра

Решить: (а+1)²+3(а-1)²-5(а+1)(а-1)=

👇
Ответ:
lana030935
lana030935
27.10.2021
=a²+2a+1+3(a²-2a+1)-5(a²-1)=a²+2a+1+3a²-6a+3-5a²+5= -a²-4a+9
4,5(79 оценок)
Открыть все ответы
Ответ:
VicusiaKoval
VicusiaKoval
27.10.2021

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7.

Решение

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

Решение

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x0 = 1, y0 = 2.

Тогда

5x0 + 7y0 = 19,

откуда

5(х – x0) + 7(у – y0) = 0,

5(х – x0) = –7(у – y0).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x0 = 7k, у – y0 = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x0 = 1273·12 = 15276, y0 = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x3 + y3 = 3333333;

б) x3 + y3 = 4(x2y + xy2 + 1).

Решение

а) Так как x3 и y3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x3 + y3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)3 = 7(x2y + xy2) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

ответ: целочисленных решений нет.

4. Решить

а) в простых числах уравнение х2 – 7х – 144 = у2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x2 – xy + y2.

Решение

а) Решим , получим, что x, y, z, u делятся на 2n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

ответ: (0; 0; 0; 0).

7. Докажите, что уравнение

(х – у)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Решение

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

abc = 10.

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у2.

Решение

Очевидно, что

если х = 1, то у2 = 1,

если х = 3, то у2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х1 = 1, у1 = 1;

х2 = 1, у2 = –1;

х3 = 3, у3 = 3;

х4 = 3, у4 = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a3 – b3 – c3 = 3abc, a2 = 2(b + c).

Решение

Так как

3abc > 0, то a3 > b3 + c3;

таким образом имеем

b < a, c < a.

Складывая эти неравенства, получим, что

b + c < 2a и 2(b + c) < 4a.

С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

a2 < 4a и а < 4.

Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

ответ: (2; 1; 1)

10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х2 + х = у4 + у3 + у2 + у.

Решение

Р

4,8(41 оценок)
Ответ:
фейс4
фейс4
27.10.2021
Попробуем угадать формулу S(n) = 1 * 3 + 2 * 4 + 3 * 5 + ... + n * (n + 2). Понятно, что сумма - многочлен, притом не более чем третьей степени. 
Положим S(n) = an^3 + bn^2 + cn + d

S(1) = a + b + c + d = 3
S(2) = 8a + 4b + 2c + d = 3 + 8 = 11
S(3) = 27a + 9b + 3c + d = 11 + 15 = 26
S(4) = 64a + 16b + 4c + d = 26 + 24 = 50

a + b + c + d = 3
8a + 4b + 2c + d = 11
27a + 9b + 3c + d = 26
64a + 16b + 4c + d = 50

Вычитаем первое уравнение из оставшихся.
7a + 3b + c = 8
26a + 8b + 2c = 23
63a + 15b + 3c = 47

Вычитаем из второго уравнения удвоенное первое, а из третьего - утроенное.
12a + 2b = 7
42a + 6b = 23

6a + b = 7/2
7a + b = 23/6

Вычитаем из второго уравнения первого, получаем
a = 23/6 - 7/2 = 1/3

Тогда
b = 7/2 - 6a = 7/2 - 2 = 3/2
c = 8 - 7a - 3b = 8 - 7/3 - 9/2 = 7/6
d = 3 - a - b - c = 3 - 1/3 - 3/2 - 7/6 = 0

(?) S(n) = (2n^3 + 9n^2 + 7n)/6

Проверяем:
S(1) = (2 + 9 + 7)/6 = 3
S(2) = (16 + 36 + 14)/6 = 11
S(3) = (54 + 81 + 21)/6 = 26
S(4) = (128 + 144 + 28)/6 = 50

Вроде совпадает. Проверяем по индукции.
База уже проверена.
Переход: Пусть S(n) = (2n^3 + 9n^2 + 7n)/6. Найдем S(n+1).
S(n + 1) = (2n^3 + 9n^2 + 7n)/6 + (n + 1) * (n + 3) = (2n^3 + 9n^2 + 7n + 6n^2 + 24n + 18)/6 = (2(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 9(n^2 + 2n + 1) + 7(n + 1))/6 = (2(n + 1)^3 + 9(n + 1)^2 + 7(n + 1))/6, чтд.

Решение станет проще, если сразу вспомнить две формулы:
1 + 2 + ,,, + n = n(n + 1)/2
1 + 4 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

Тогда
1 * 3 + 2 * 4 + ... + n(n + 2) = (1 + 2 + ... + n^2) + 2(1 + 2 + ... + n) = n(n + 1) * [(2n + 1)/6 + 2 * 1/2] = n(n + 1)(2n + 7) / 6 - как и было получено ранее.


S(15) = 15 * 16 * 37 / 6 = 5 * 8 * 37 = 40 * 37 = 1480
4,4(18 оценок)
Это интересно:
Новые ответы от MOGZ: Алгебра
logo
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси Mozg
Открыть лучший ответ