Question

Первый и второй насосы,работая вместе,наполняют бассейн за 6 часов.второй и третий насосы,работая вместе,наполняют этот же бассейн за 12 часов,а первый и третий насосы-за 8 часов.за какой время наполнят бассейн,работая одновременно,три насоса? ответ дайте в минутах.

Answer 1

Обозначим всю работу А
производительность р1, р2, р3
А/(р1+р2)=360 мин   А/(р2+р3)=720 мин   А/(р1+р3)=480  мин
(р1+р2)/А=1/360  (Р2+р3)/А=1/720   (р1+р3)/А=1/480  
СЛОЖИМ ЭТИ 3 у-я.
(р1+р2+р3)/А=1/2(1/360+1/720+1/480)=1/320   
А/(Р1+Р2+Р3)=320 мин

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся методом обратных долей.

Пусть первый насос за 1 час наполняет 1/x долю бассейна, второй насос за 1 час наполняет 1/y долю бассейна, а третий насос за 1 час наполняет 1/z долю бассейна.

Из условия задачи мы знаем следующее:
1/x + 1/y = 1/6 (1)
1/y + 1/z = 1/12 (2)
1/x + 1/z = 1/8 (3)

Для начала рассмотрим уравнение (1).

Выразим из него y:
1/y = 1/6 - 1/x (4)

Аналогично, из уравнения (2) выразим z:
1/z = 1/12 - 1/y (5)

Подставим (4) в (5) и упростим выражение:
1/z = 1/12 - 1/(1/6 - 1/x) (6)

Сделаем замену 1/x = a и упростим уравнение (6):
1/z = 1/12 - 1/(1/6 - a) (7)

Разделим числитель и знаменатель во втором слагаемом правой части уравнения (7) на общий делитель 1/6 и упростим выражение:
1/z = 1/12 - 6/(1 - 6a) (8)

Умножим правую и левую часть уравнения (8) на 12z (общее кратное):
12 = z - 72z/(1 - 6a) (9)

Раскроем скобки в знаменателе и упростим выражение:
12 = z - 72z + 432az (10)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
432az - 71z + 12 = 0 (11)

Для рассмотрения уравнения (3) выполним аналогичные действия:

Выразим из него z:
1/z = 1/8 - 1/x (12)

Аналогично, из уравнения (1) выразим y:
1/y = 1/6 - 1/x (13)

Подставим (12) в (13) и упростим выражение:
1/y = 1/6 - 1/(1/8 - 1/x) (14)

Сделаем замену 1/x = a и упростим уравнение (14):
1/y = 1/6 - 1/(1/8 - a) (15)

Разделим числитель и знаменатель во втором слагаемом правой части уравнения (15) на общий делитель 1/8 и упростим выражение:
1/y = 1/6 - 8/(1 - 8a) (16)

Умножим правую и левую часть уравнения (16) на 6y (общее кратное):
6 = y - 48y/(1 - 8a) (17)

Раскроем скобки в знаменателе и упростим выражение:
6 = y - 48y + 384ay (18)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
384ay - 47y + 6 = 0 (19)

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:
432az - 71z + 12 = 0 (11)
384ay - 47y + 6 = 0 (19)

Составим систему уравнений (11) и (19) в виде матрицы:

[ 432a -71 ] [ z ] = [ -12 ]
[ 384a -47 ] [ y ] [ -6 ]

Для решения системы уравнений применим метод Крамера.

Вычислим определитель матрицы системы:

D = (432a * -47) - (-71 * 384a) = 20496a - (-27144a) = 47640a

Определитель системы не должен быть равен нулю, поэтому рассмотрим два случая:

1. a не равно нулю:
В этом случае система имеет единственное решение:
z = (det1) / D = ((-12) * (-47) - (-71) * (-6)) / (47640a) = (1414 + 426) / (47640a) = 1840 / (47640a)
y = (det2) / D = ( (432a) * (-6) - (384a) * (-12) ) / (47640a) = ( 3168 - ( -4608 ) ) / ( 47640a ) = 7776 / (47640a)

2. a равно нулю:
В этом случае получим систему с бесконечным количеством решений.

Теперь найдем значение a:

Используем одно из данных условия:
1/x + 1/y = 1/6 (1)

Подставим в уравнение (1) найденные значения z и y:
1/x + ((47640a) / 1840) + ( (47640a) / 7776) = 1/6

Перенесем все слагаемые в левую часть:
1/x + ((47640a) / 1840) + ( (47640a) / 7776) - 1/6 = 0

Найдем общий знаменатель и упростим выражение:
(1 + (1840a) + (7776a) - (23040)) / (6 * x) = 0

Сократим выражение на (1 + 9616a) и решим уравнение:
(2304a - 23040) / 6x = 0

Решение этого уравнения дает значение a.

Получив значение a, можно подставить его в выражения для z и y и найти ответ на вопрос задачи: за какое время наполнят бассейн три насоса, работая одновременно. Так как в ответе требуется указать время в минутах, необходимо преобразовать найденное время в минуты.