28 лет
Объяснение:
В недели 7 дней и поэтому если воскресенье считать нулевым днём, то при делении на 7 любого дня года получаем остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и дни попадающие на воскресенья дают в остатке 0.
День рожденья Максима воскресенье 29 февраля (високосный год) считаем нулевым днём. Тогда через 4 года снова наступает високосный год и 29 февраля. Вычислим дней за эти годы:
365+365+365+366=1461.
Остаток от деления 1461 на 7 равен 5. Нам нужно, чтобы остаток равнялся 0, чтобы 29 февраля попала в воскресенье.
Далее, наименьшее число, которое делится на 7 (дней в недели) и 5 (остаток от деления) - это 35. Так как 35:5 = 7, то через 7·4=28 лет снова будет в воскресенье 29 февраля.
По другому это можно показать следующим образом:
4 года --> 1461:7 --> остаток 5;
8 лет --> 2·1461:7=2922:7 --> остаток 3;
12 лет --> 3·1461:7=4383:7 --> остаток 1;
16 лет --> 4·1461:7=5844:7 --> остаток 6;
20 лет --> 5·1461:7=7305:7 --> остаток 4;
24 лет --> 6·1461:7=8766:7 --> остаток 2;
28 лет --> 7·1461:7 --> остаток 0.
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).
Либо использовать модификацию признака деления на 1001=10³+1, которое само делится на 7:
Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь (например, число 689255. Первая группа со знаком «+» (689), вторая со знаком «-» (255). Отсюда 689—255 = 434. В свою очередь 434 : 7 = 62).
Ещё один признак — берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую…
Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток — 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13).
