Question

Решить мне систему уравнений , 54 ! x+y+z=0 xy+yz=-1 x^2+y^2+z^2=6 с решением

Answer 1

$\begin{cases} & \text{ } x+y+z=0 \\ & \text{ } xy+yz=-1 \\ & \text{ } x^2+y^2+z^2=6 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x+z=-y \\ & \text{ } y(x+z)=-1 \\ & \text{ } x^2+y^2+z^2=6 \end{cases}$
  Первое уравнение подставим во второе, тоесть:
$\begin{cases} & \text{ } x+z=-y \\ & \text{ } y\cdot(-y)=-1 \\ & \text{ } x^2+y^2+z^2=6 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x+z=-y \\ & \text{ } y^2=1 \\ & \text{ } x^2+y^2+z^2=6 \end{cases}$

Второе уравнение можно решить без проблем:
                                        $y^2=1\\ y=\pm 1$

Тоесть, мы будем иметь 2 системы с двумя уравнения:
            1 система уравнения
Если y=1;.
              $\begin{cases} & \text{ } x+z=-1 \\ & \text{ } x^2+z^2=5 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим переменную х, и подставим во второе уравнение
                       $\begin{cases} & \text{ } x=-1-z \\ & \text{ } (-1-z)^2+z^2=5 \end{cases}$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
   $1+2z+z^2+z^2-5=0\\ 2z^2+2z-4=0|:2\\ z^2+z-2=0$
Получили квадратное уравнение. По теореме Виета, мы можем найти корни: $z_1=-2;\,\,\,\, z_2=1$
Находим теперь переменны $x$
$x_1=-1-z_1=-1+2=1\\ x_2=-1-z_2=-1-1=-2$

2 система уравнения.
 Если $y=-1$
$\begin{cases} & \text{ } x+z=1 \\ & \text{ } x^2+z^2=5 \end{cases}$
    Из первого уравнения выразим переменную х и подставим во второе уравнение
$\begin{cases} & \text{ } x=1-z \\ & \text{ } (1-z)^2+z^2=5 \end{cases}\\ 1-2z+z^2+z^2-5=0\\ \\ 2z^2-2z-4=0|:2\\ z^2-z-2=0$
По т. Виета:

$z_1=-1;\,\,\,\, z_2=2$

Находим переменные $x$
$x_1=1-z_1=1+1=2\\ x_2=1-z_2=1-2=-1$

ответ: $(1;1;-2),(-2;1;1),(2;-1;-1),(-1;-1;2).$