Question

Решите систему. но не методом подбора. я и так знаю, что ответы 1, -1, 2

Answer 1

$\left\{\begin{array}{ccc}x&+y&+z=2\\x^2&+y^2&+z^2=6\\x^3&+y^3&+z^3=8\end{array}\right$

Обозначим:
 
 
 $x+y+z=q_1,\; xy+yz+xz=q_2\; ,\; xyz=q_3$  

Тогда

$x+y+z=q_1\; \; \; (\star )\\\\x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=q_1^2-2q_2\; (\star \star )\\\\x^3+y^3+z^3=q_1^3-3q_1q_2+3q_3\; \; \; (\star \star \star )\\\\(\star )\; \; q_1=2\; ,\; \; \\\\(\star \star)\; \; \; 6=2^2-2q_2\; \; \to \; \; q_2=\frac{4-6}{2}=-1\\\\(\star \star \star )\; \; \; 8=2^3-3\cdot 2\cdot (-1)+3q_3\; \; \to \; \; 8=8+6+3q_3\; ,\; q_3=-2$

Получаем систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{c}x+y+z=2&xy+yz+xz=-1&xyz=-2\end{array}\right$

По теореме Виета для кубического уравнения x³+q₁x²+q₂x+q₃=0 коэффициенты равны
q₁=-(x+y+z) ,  
q₂=xy+yz+xz
q₃=-xyz
Значит, решения последней  системы будут решениями кубического уравнения  u³-2u²-u+2=0 . 
(u³-u)+(-2u²+2)=0
u(u²-1)-2(u²-1)=0
(u²-1)(u-2)=0
(u-1)(u+1)(u-2)=0
u-1=0  ⇒  u=1
u+1=0  ⇒  u=-1  
u-2=0  ⇒  u=2

Значит,  будем иметь 6 решений сиcтемы:
 (1,-1,2) , (1,2,-1) , (-1,1,2) , (-1,2,1) , (2,1,-1) , (2,-1,1) .