Question

Решите неравенства: 1) логарифм (-х) по основанию 1/3 > логарифм (4-2х) по основанию 1/3 2)логарифм (6-х) по основанию 2,5 < логарифм (4-3х) по основанию 2,5 3)2 логарифм х по основанию 5^2 +5 логарифм х по основанию 5 + 2 больше либо равно 0 4) логарифм (х-1) по основанию 2/7 - логарифм 2 по основанию 2/7 меньше либо равно - логарифм (4-х) по основанию 2/7 5) - логарифм (4х-3) по основанию 15 больше либо равно логарифм 5 по основанию 15 -1 6) найдите меньшее решение неравенства: 3 логарифм х^2 по основанию 8 меньше либо равно логарифм (10х+75) по основанию 2 7) найдите сумму целых решений неравенства: логарифм (4х^2+69) по основанию 13 < 2

Answer 1

1) $log_{ \frac{1}{3} }(-x)\ \textgreater \ log_{ \frac{1}{3} }(4-2x)$
ОДЗ: $\left \{ {{-x\ \textgreater \ 0} \atop {4-2x\ \textgreater \ 0}} \right. \left \{ {{x\ \textless \ 0} \atop {x\ \textless \ 2}} \right. x\ \textless \ 0$
$-x\ \textless \ 4-2x$
$x\ \textless \ 4$
С учетом ОДЗ: $x\ \textless \ 0$
(-∞;0)

2) $log_{2.5} (6-x) \ \textless \ log_{2.5} (4-3x)$
ОДЗ: $\left \{ {{6-x\ \textgreater \ 0} \atop {4-3x\ \textgreater \ 0}} \right. \left \{ {{x\ \textless \ 0} \atop {x\ \textless \ \frac{4}{3} }} \right. ;x\ \textless \ 0$
$6-x\ \textless \ 4-3x$
$2x\ \textless \ -2$
$x\ \textless \ -1$
С учетом ОДЗ: $x\ \textless \ -1$
(-∞;-1)

3)$2log_{5^2}x+5log_5x+2 \geq 0$
ОДЗ: $x\ \textgreater \ 0$
$log_5 x+5log_5x \geq -2$
$6log_5x \leq -2$
$log_5x \leq - \frac{1}{3}$
$log_5x \leq log_5 \frac{1}{ \sqrt[3]{5} }$
$x \leq \frac{1}{ \sqrt[3]{5} }$
С учетом ОДЗ: $(0;\frac{1}{ \sqrt[3]{5} }]$

4) $log_{ \frac{2}{7} } (x-1)-log_{ \frac{2}{7} }2 \leq -log_{ \frac{2}{7} } (4-x)$
ОДЗ: $\left \{ {{x-1\ \textgreater \ 0} \atop {4-x\ \textgreater \ 0}} \right. ; \left \{ {{x\ \textgreater \ 1} \atop {x\ \textless \ 4} \right. ;1\ \textless \ x\ \textless \ 4$
$log_{ \frac{2}{7} } \frac{(4-x)(x-1)}{2} \leq 0$
$log_{ \frac{2}{7} } \frac{(4-x)(x-1)}{2} \leq log_{ \frac{2}{7} }1$
$\frac{(4-x)(x-1)}{2} \geq 1$
$4x-4-x^2+x-2 \geq 0$
$-x^2+5x-6 \geq 0$
$(3-x)(x-2) \geq 0$
$2 \leq x \leq 3$
$[2;3]$
С учетом ОДЗ: [2;3]

5) $-log_{15} (4x-3) \geq log_{15}5-1$
ОДЗ: $4x-3\ \textgreater \ 0;x\ \textgreater \ 0.75$
$log_{15} (4x-3) \leq 1-log_{15}5$
$log_{15} (4x-3) \leq log_{15}15-log_{15}5$
$log_{15} (4x-3) \leq log_{15}3$
$4x-3 \leq 3$
$4x \leq 6$
$x \leq 1.5$
С учетом ОДЗ: $(0,75;1,5]$

6) $3log_8 x^2 \leq log_2(10x+75)$
ОДЗ: $\left \{ {{x^2\ \textgreater \ 0} \atop {10x+75\ \textgreater \ 0}} \right. \left \{ {{x\ \textgreater \ 0;x\ \textless \ 0} \atop {x\ \textgreater \ -7.5}} \right. ;$
(-7.5;0)∪(0;+∞)
$log_2 x^2 \leq log_2(10x+75)$
$x^2 \leq 10x+75$
$x^2-10x-75 \leq 0$
$(x-15)(x+5) \leq 0$
$-5 \leq x \leq 15$
$[-5;15]$
С учетом ОДЗ: [-5;0)∪(0;15]
Меньшее решение = -5

7) $log_{13}(4x^2+69)\ \textless \ 2$
ОДЗ: $4x^2+69\ \textgreater \ 0$
(-∞;+∞)
$log_{13}(4x^2+69)\ \textless \ log_{13}169$
$4x^2+69\ \textless \ 169$
$4x^2\ \textless \ 100$
$x^2\ \textless \ 25$
$(-5;5)$
Целые решения: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Их сумма = 0