Question

Решите дробно-рациональное уравнение - x-7/x-5+20/x2-25=6/x+5

Answer 1

Всё устоновлено по правилу

Answer 2

Добрый день! Решим вместе данное дробно-рациональное уравнение.

1. Сначала произведем приведение дробей к общему знаменателю. В данном уравнении общим знаменателем будет (x-5)(x+5). Приведем каждую дробь к данному знаменателю:

(x-7)/(x-5) + 20/(x²-25) = 6/(x+5)

Чтобы привести первую дробь к общему знаменателю, умножим числитель и знаменатель на (x+5):

(x-7)*(x+5)/((x-5)*(x+5)) + 20/(x²-25) = 6/(x+5)

Упростим:

(x^2 - 2x - 35)/((x-5)(x+5)) + 20/(x²-25) = 6/(x+5)

Осталось привести вторую дробь к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби является разностью квадратов, поэтому его можно разложить:

(x-7)*(x+5)/((x-5)(x+5)) + 20/((x-5)(x+5)) = 6/(x+5)

Таким образом, мы привели все дроби к общему знаменателю.

2. Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

((x^2 - 2x - 35) + 20)/(x²-25) = 6/(x+5)

(x^2 - 2x - 35 + 20)/(x²-25) = 6/(x+5)

(x^2 - 2x - 15)/(x²-25) = 6/(x+5)

3. Избавимся от знаменателей, умножив оба выражения на (x²-25):

(x^2 - 2x - 15)(x+5) = 6(x²-25)

(x^3 + 3x^2 - 15x - 70) = 6x² - 150

4. Приведем подобные слагаемые:

x^3 + 3x^2 - 15x - 70 = 6x² - 150

x^3 + 3x^2 - 15x - 6x² + 150 + 70 = 0

x^3 - 3x^2 - 15x + 220 = 0

5. Решим получившееся кубическое уравнение. К сожалению, нет простых способов решения кубических уравнений, поэтому мы воспользуемся численными методами или графическим способом.

Другой вариант - использовать калькулятор с функцией решения уравнений.

Проверим, можно ли подобрать рациональные корни для данного уравнения.

По теореме о рациональных корнях уравнения, если существует рациональный корень, то он будет делителем последнего коэффициента (220) и будет делителем старшего коэффициента (1). Проверим все возможные делители 220: ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±11, ±20, ±22, ±44, ±55, ±110, ±220.

Мы пробуем подставить эти значения в уравнение и если получаем равенство, то это является рациональным корнем уравнения.

Допустим, мы подставляем x=1:

1 - 3 + 15 - 220 = 0

То есть x=1 является рациональным корнем уравнения.

6. Далее мы можем разделить исходное уравнение на (x-1), чтобы получить квадратное уравнение:

(x^3 - 3x^2 - 15x + 220)/(x-1) = (x-1)(x^2 - 2x - 220) / (x-1)

x^2 - 2x - 220 = 0

7. Решим полученное квадратное уравнение.

Воспользуемся здесь формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

где a = 1, b = -2, c = -220. Подставим значения в формулу:

D = (-2)² - 4(1)(-220) = 4 + 880 = 884

Дискриминант равен 884.

8. Если дискриминант больше нуля, то у квадратного уравнения есть два действительных корня. Если дискриминант равен нулю, то у уравнения есть один корень (корни совпадают). Если дискриминант меньше нуля, то у уравнения нет действительных корней.

В нашем случае дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два действительных корня.

Используя формулу квадратного уравнения x = (-b±√D)/2a, найдем корни:

x₁ = (-(-2) + √884) / (2*1) = (2 + √884)/2 = 1 + √221
x₂ = (-(-2) - √884) / (2*1) = (2 - √884)/2 = 1 - √221

Таким образом, полное решение уравнения - x=1 + √221, x=1 - √221.

Надеюсь, данный ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.