Question

Покажите, что трехчлен x^2+px+q можно представить в виде (х+p/2)^2+(q-p/4)^2, а трехчлен ax^2+bx+c в виде a[(x+b/2a)^2+ 4ac-b^2/4a^2] (этот вид трехчлена называется каноническим)

Answer 1

Выделяем полный квадрат в трехчлене.
а) x^2 + px + q = x^2 + 2*x*(p/2) + (p/2)^2 - (p/2)^2 + q
В члене, содержащем х, должен быть коэфф. 2, поэтому px = 2*x*(p/2)
Значит, квадрат второго члена (p/2)^2, его нужно прибавить и вычесть.
Дальше сворачиваем полный квадрат в скобку:
(x + p/2)^2 + q - (p/2)^2 = (x + p/2)^2 + q - p^2/4
Доказано, а у вас опечатка в задании.
б) $ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}*x + \frac{c}{a}) = a(x^2 + 2x* \frac{b}{2a} + ( \frac{b}{2a} )^2-( \frac{b}{2a} )^2+\frac{c}{a})$
$a[(x+ \frac{b}{2a})^2- \frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]=a[(x+ \frac{b}{2a})^2+ \frac{4ac}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}]=$
$=a[(x+ \frac{b}{2a})^2+ \frac{4ac-b^2}{4a^2}]$
Доказано.