Question

Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а разность шестого и второго её членов равна 12. найдите разность и первый член данной прогрессии.

Answer 1

Составим систему:
$\begin{cases} & \text{ } a_3+a_5=16 \\ & \text{ } a_6-a_2=12 \end{cases}$
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n=a_1+(n-1)d$

$\begin{cases} & \text{ } a_1+2d+a_1+4d=16 \\ & \text{ } a_1+5d-a_1-d=12 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } 2a_1+6d=16|:2 \\ & \text{ } 4d=12|:4 \end{cases}\\ \\ \begin{cases} & \text{ } a_1+3d=8 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\star)\\ & \text{ } d=3 \end{cases}$
Подставим разность арифметической прогрессии в уравнение $(\star)$

$a_1+3\cdot 3=8\\ a_1=-1$

ответ: $a_1=-1;\,\,\,\, d=3.$