Доказать тригонометрическое тождество
√( (1+cosα) / (1-cosα) ) - √( (1 - cosα) / (1+cosα) ) =2ctgα для 0 < α < π/2
решение : * * * освобождение от иррациональности в знаменателе (числителе) дроби * * *
√( (1+cosα) / (1-cosα) ) - √( (1 - cosα) /(1+cosα) ) =
√( (1+cosα)²/ (1-cos²α) ) - √( (1 - cosα)² /(1- cos²α) ) =
√( (1+cosα)² /sin²α ) - √( (1 - cosα)² /sin²α ) =
|| 1+cosα ≥ 0 для любого α , а sinα > 0 т.к. 0 < α < π/2 ||
= (1+cosα) /sinα - (1 - cosα) /sinα = (1+cosα - 1 + cosα) /sinα =2cosα/sinα =
2ctgα .
Пусть при пересечении прямых а и с секущей АВ накрест лежащие углы равны, т.е. угол 1 = углу 2.
Теперь докажем, что а || с.
Первый случай: Нам даны 2 прямых угла, которые равны (угол 1 = углу 2). Т.к. углы = 90 градусам, то прямые а и с перпендикулярны к прямой АВ и, получается, а || с. (1 вложение)
Второй случай: Нам даны 2 не прямых угла, которые равны (угол 1 = углу 2). Тогда проведем из середины О отрезка АВ перпендикуляр ОК к прямой а. На прямой с отложим отрезок ВК1 (ВК1=АК) и проведем отрезок ОК1. Получившиеся треугольники будут равны по первому признаку*, поэтому угол 3 = углу 4, угол 5 = углу 6.
Из равенства угол 3 = углу 4 следует, что точка К1 лежит на продолжении луча ОК, т.е. точки К, О, К1 лежат на одной прямой.
Из равенства угол 5 = углу 6 следует, что угол 6 - прямой (т.к. угол 5 тоже прямой). Следовательно, прямые а и с перпендикулярны к прямой КК1, поэтому а || с. (вложение 2)
ответ: верно утверждение 2
* - первый признак равенства треугольников - если 2 стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны 2м сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
