Question

Найти все корни уравнения (x - a)(x - b) = (x - c)(x - d), если известно, что a + d = b + c = 2015.

Answer 1

Выразим переменные $\begin{cases} & \text{ } a=-d+2015 \\ & \text{ } b=-c+2015 \end{cases}$, подставим:

$(d+x-2015)(c+x-2015)-(c-x)(d-x)=0$
Раскроем скобки:
$cd+dx-2015d+cx+x^2-2015x-2015c-2015x+2015^2-\\ \\ -cd+cx+dx-x^2=0$
Приводим подобные слагаемые:

$2cx+2dx-2015c-2015d-4030x+2015^2=0\\ 2x(c+d-2015)-2015(c+d-2015)=0\\ (c+d-2015)(2x-2015)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$c+d-2015=0$ отсюда $d=2015-c$

$\begin{cases} & \text{ } a+d=2015 \\ & \text{ } b+c=2015 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } a+2015-c=2015 \\ & \text{ } b+c=2015 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } a=c \\ & \text{ } b+c=2015 \end{cases}$

$2x-2015=0\\ \\ x= \dfrac{2015}{2}$