Question

Вбесконечно убывающей прогрессии b1+b2+b3=3; b1+b3+b5=5.25.
найдите s

Answer 1

ответ: -8

Объяснение:

По формуле bn = b₁ * qⁿ⁻¹ преобразуем b₂, b₃, b₅:

b₂ = b₁ * q,

b₃ = b₁ * q²,

b₅ = b₁ * q⁴.

Заменим b₂, b₃, b₅ в данных выражениях и составим систему:

b₁ + b₂ + b₃ = b₁ + b₁*q + b₁*q² = b₁ * (1 + q + q²)

b₁ + b₃ + b₅ = b₁ + b₁*q² + b₁*q⁴ = b₁ * (1 + q² + q⁴)

$\left \{ {{b_1(1+q+q^2)=3,} \atop {b_1(1+q^2+q^4)=5,25}} \right.$

b₁ не равно нулю (от противного, если b₁ = 0, то система не имеет решений); аналогично множители с q не равны 0, поэтому можно выполнить деление уравнений.

Поделим второе уравнение на первое:

$\left \{ {\frac{b_1(1+q^2+q^4)}{b_1(1+q+q^2)}=\frac{5,25}{3}, } \atop b_1(1+q+q^2)=3}} \right.$

В первом уравнении сократим на b₁, не равное нулю, и решим его отдельно относительно q:

$\frac{1+q^2+q^4}{1+q+q^2}=\frac{7}{4}$

Так как знаменатель не обращается в нуль (D < 0), то можно выполнить перемножение крест-накрест. Получим:

4q⁴ + 4q² + 4 = 7q² + 7q + 7,

4q⁴ - 3q² - 7q - 3 = 0,

4q⁴ + (- 6q³ + 6q³) - 3q² + (-6q² + 6q²) - 7q + (-2q + 2q) - 3 = 0,

(4q⁴ - 6q³) + (6q³ - 9q²) + (6q² - 9q) + (2q - 3) = 0,

2q³(2q - 3) + 3q²(2q - 3) + 3q(2q - 3) + (2q - 3) = 0,

(2q - 3)(2q³ + 3q² + 3q + 1) = 0,

(2q - 3)(2q³ + (2q² + q²) + (2q + q) + 1) = 0,

(2q - 3)((2q³ + 2q² + 2q) + (q² + q + 1)) = 0,

(2q - 3)(2q(q² + q + 1) + q² + q + 1) = 0,

(2q - 3)(2q + 1)(q² + q + 1) = 0,

Последняя скобка не обращается в ноль (D < 0), следовательно

q₁ = -0,5

q₂ = 1,5

q₂ не подходит по условию (так как геометрическая прогрессия бесконечно убывающая, то есть |q| < 1)

Вернёмся к системе:

$\left \{ {{q=-0,5} \atop {b_1(1+q+q^2)=3}} \right. \\ \\ \left \{ {{q=-0,5} \atop {b_1(1-0,5+0,25)=3}} \right. \\ \\ \left \{ {{q=-0,5} \atop {-0,25b_1=3}} \right. \\ \\ \left \{ {{q=-0,5} \atop {b_1=-12}} \right.$

Используя найденные значения b₁ и q, найдём сумму прогрессии по соответствующей формуле:

$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-12}{1-(-0,5)}=-\frac{12}{1,5}=-8$