Question

Найти все значения параметра a, при которых данное уравнение разрешимо, и решить его при найденных a: эту можно решить возведением в квадрат. но будут нестандартные методы решения.

Answer 1

Положим x² + a² = t, тогда 
$\frac{2}{ \sqrt{3} } + \sqrt{ \frac{ \sqrt{24t+9}-1 }{6} } = \sqrt{3}(t+1)+ \sqrt{t(3t+2)}$

$\frac{d}{dx} (\frac{2}{ \sqrt{3} } + \sqrt{ \frac{ \sqrt{24t+9}-1 }{6} }) = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{8t+3} \sqrt{ \sqrt{3} \sqrt{8t+3}-1 } }$

$\frac{d}{dx} (\sqrt{3}(t+1)+ \sqrt{t(3t+2)} ) = \frac{3t+1}{ \sqrt{t(3t+2)} } + \sqrt{3}$

Производная первой функции меньше производной второй функции, обе они монотонны и пересекаются в точке t = 0 ⇒ больше нигде пересечений нет.

Итак, полученное уравнение имеет лишь один корень t = 0. Таким образом, x² + a² = 0. Но, так как в левой части равенства у нас выражение принимает всегда неотрицательные значения, x² = a² = 0, то есть x = a = 0.

ответ: 0.