Question

Найти наименьшее значение функции f(x)=x^4(x+2)^3 на отрезке [-1; 1]

Answer 1

Вычислим производную функции:
 $f'(x)=(x^4)'(x+2)^3+x^4\cdot((x+2)^3)'=4x^3(x+2)^3+3x^4(x+2)^2=\\ \\ =x^3(x+2)^2(4x+8+3x)=x^3(x+2)^2(7x+8)$

Приравниваем производную функции в к нулю:
$x^3(x+2)^2(7x+8)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

$x_1=0\\ x_2=-2\\ x_3=- \frac{8}{7}$

Корни $x_2$ и $x_3$ не принадлежат данному отрезку.

Вычислим значения функции на отрезке:

$f(-1)=(-1)^4\cdot(-1+2)^3=1$
$f(0)=0$  - наименьшее значение
$f(1)=1^4\cdot (1+2)^3=27$