Question

Найти площадь треугольника, одна сторона которого лежит на касательной к графику функции 0.25(x^2+6x+1) в точке с абсциссой -1 , а две стороны - на касательных к графику этой функции, проходящих через точку (0; -2)

Answer 1

Найти площадь треугольника, одна сторона которого лежит на касательной к графику функции 0.25(x^2+6x+1) в точке с абсциссой  x₀=-1 , а две стороны - на касательных к графику этой функции, проходящих через точку M(0;-2).

f(x) =0,25(x²+6x+1) ; x₀ =-1. * * *f(x) =0,25(x²+6x+9 -8) = -2+0,25(x+3)²  * * *
---
Уравнение касательной к графику функции в точке  с абсциссой x₀
имеет вид :
y =f(x₀) + f '(x₀)*(x - x₀) ;
f(x₀) =0,25(x₀²+6x₀+1)   =     0,25( (-1)² +6*(-1) +1 ) =  -1
f '(x) = (0,25(x²+6x+1) ) ' = 0,25(2x+6) =0,5(x+3).
f '(x₀) = 0,5(x₀+3)  =              0,5( -1+3) = 1 .
y = - 1+1(x -(-1))  ⇔ y = x.
* * *    y =0,25(x₀²+6x₀+1) + 0,5(x₀+3) (x - x₀)   * * *
* * * одна сторона треугольника лежит на прямой  y  = x  * * *
Составим уравнения  других касательных , они  проходят  через точку M (0 ; -2)_она одна из вершин треугольника) :  y= kx - 2  
* * * . y-(-2) =k*(x  - 0) * * *
kx -2 = 0,25(x²+6x+1) ⇔4kx-8 =x²+6x+1 ⇔x²-2(k-3)x+9=0 .
D/4 =(k-3)²- 9 = 0⇒ [ k =3 ; k=0 , т.е. y =3x - 2  и  y = - 2.
* * * y=- 2 проходит через вершину G(-3 ; -2) параболы y = -2 + 0,25(x+3)²
(точка минимума , где производная  f '(x₁)= 0 * * * 
Определили_стороны  лежать на прямые  y =x  ;  y = 3x  - 2  и  y = - 2.
* * *  k =1; k =3 ; k =0 ⇒ линии не параллельны ,  они   пересекаются и определяют вершины треугольника   * * *
A(1 ;1) ; B(-2 ;-2) ; C(0 ;-2) .
Площадь можно определить разными но здесь просто
BС | | OX  ⇒ S =(1/2)* |BC| *h =(1/2)*2*3  = 3.         

ответ:  3.   
      
уравнения касательных можно было получить по другому :  
y = 0,25(x₁²+6x₁+1) + 0,5(x₁+3) (x  -x₁) ;    k =0,5(x₁+3)
эта касательные проходит через точку  M(0,-2) , поэтому :
- 2 = 0,25(x₁²+6x₁+1) +0,5(x₁+3)(0 -x₁) ;
- 8 = x₁² + 6x₁+1  - 2x₁² - 6x₁ ;
x₁² -9 =0 ⇒ [ x₁=3 , x₁=-3 ; ⇒ соответственно    [ k₁ =3 ;  k₁ =0 .


               |x₁-x₂   y₁-y₂ |      
S = (1/2) |                    | 
               |x₂ -x₃  y₂- y₃|