А) Время движения скорого поезда: x - 1/3 (ч) б) Путь, пройденный товарным поездом до встречи со скорым: S₁ = v₁x = 66x (км) в) Путь, пройденный скорым поездом до встречи с товарным: S₂ = v₂(x - 1/3) = 90(x - 1/3) = 90x - 30 Так как расстояние S = АВ = 256 км, то: S = S₁+S₂ 256 = 66x + 90x - 30 156x = 286 x = 1 5/6 (ч) Таким образом, товарный поезд находился в пути до встречи со скорым 1 час 50 мин и за это время: S₁ = v₁x = 66 * 1 5/6 = 121 (км) Скорый поезд находился в пути до встречи с товарным 1 час 30 мин и за это время S₂ = v₂(x - 1/3) = 90 * 1 5/6 - 30 = 165 - 30 = 135 (км)
ответ: поезда встретятся на расстоянии 121 км от станции А и 135 км от станции В.
2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функция не периодическая.
4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.
5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота.
6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).
В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.
Найти первую производную функции
Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.
7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).
Найти вторую производную функции
8) Выясним вопрос об асимптотах.
Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.
2 y=√x
3 y=-8/x
графики приложены.