Question

Решить уравнение с параметром при каких а уравнение имеет ровно три корня

Answer 1

ОДЗ:  $x^2+ax+1 \geq 0$

Умножим обе части уравнения на $2$
$2 \sqrt{x^2+2x^2+2ax+1} =2x^2+2ax+1+1$

Пусть $2x^2+2ax+1=t$, тогда будем иметь
$2 \sqrt{x^2+t} =t+1$

Возведем обе части в квадрат:
$4(x^2+t)=(t+1)^2\\ 4x^2+4t=t^2+2t+1\\ 4x^2=(t-1)^2\\ (2x)^2-(t-1)^2=0\\ (2x-t+1)(2x+t-1)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

$2x-t+1=0$          и          $2x+t-1=0$
Обратная замена

$2x-(2x^2+2ax+1)+1=0\\ 2x-2x^2-2ax=0\\ 2x(1-x-a)=0\\ x_1=0\\ x_2=1-a$

$2x+t-1=0\\ 2x+2x^2+2ax+1-=0\\ 2x(1+x+a)=0\\ x_3=-1-a$

Подставим: $x=1-a$ и $x=-1-a$ в неравенство$x^2+ax+1 \geq 0$

При $x=1-a$, решение будет $a \in (-\infty;2]$
При $x=-1-a$, решение будет $[-2;+\infty)$

Общее решение $a \in [-2;2]$

Поскольку $x=0$, то при $a = \pm 1$ уравнение имеет 2 корня

При $a \in [-2;-1)\cup(-1;1)\cup(1;2].$ уравнение имеет 3 корня