Question

Вкачестве проводников иван-царевич взял с собой говорящего кота и мудрую сову. три попутчика дошли до долины каменных истуканов. оттуда к замку кощея бессмертного ведет прямая тропа длиной 100 м. иван-царевич, говорящий кот и мудрая сова знают, что первый по тропе окаменеет в произвольном месте, такая же участь ждет и второго. оба оживут в тот момент, когда третий будет идти по тропе и суммарное расстояние от него до окаменеет спутников будет в точности равно 100 м. могут ли иван-царевич, говорящий кот и мудрая сова добраться до замка кощея бессмертного без риска окаменеть навсегда?

Answer 1

Пусть а - точка, в которой окаменел второй, x - координата третьего.
Тогда сумма расстояний от него до двоих спутников описывается функцией
f(x) = x +|x-a|.
При х = 0 ее значение f(0) = 0 +|0-a| = а <100. 
А при х = 100 ее значение f(100) = 100 +|100-a| = 200-а >100
Так как функция непрерывна, то по теореме Больцано-Коши она принимает промежуточное значение, равное 100, между точками х=0 и 100, то есть между началом и концом тропы.