Решение задачи:
1) Найдем одну из сторон для прямоугольника:
P = 2(a + b),
120 = 2 (a + b),
60 = a + b,
b = 60 - а.
2) Площадь:
S = ab = a * (60 - а) = 60a - а2,
S = 60a - а2, функция с одной неизвестной, а.
3) Применяем производную:
S' = (60a - а2)' = 60 - 2a, приравниваем S' = 0,
60 - 2a = 0,
2а = 60,
а = 60 : 2,
а = 30 - критическая точка, а максимум функции в этой точке:
S(30) = 60 * 30 - 302 = 1800 - 900 = 900;
b = 60 - а = 60 - 30 = 30.
Проверка: 120 = 2(30 + 30).
ответ: стороны прямоугольника должны быть по 30 м.
В решении.
Объяснение:
1) 5а³ - 125аb² = 5a(a² - 25b²) = 5a(a - 5)(a + 5);
2) a² - b² - 5a + 5b =
= (a² - b²) - (5a - 5b) =
= (a - b)(a + b) - 5(a - b) =
= (a - b)(a + b - 5);
3) а²- 2ав + в² - ас + вс =
= (а²- 2ав + в²) - (ас - вс) =
= (a - b)² - c(a - b) =
= (a - b)(a - b - c);
4) 25a² + 70ab + 49b² =
= (5a + 7b)² =
= (5a + 7b)(5a + 7b);
5) a² - 2ab + b² - 3a + 3b =
= (a² - 2ab + b²) - (3a - 3b) =
= (a - b)² - 3(a - b) =
= (a - b)(a - b - 3);
6) 63ab³ - 7a²b =
= 7ab(9b² - a);
7) (b - c)(b + c) - b(b + c) =
= (b + c)(b - c - b) =
= -c(b + c);
8) m² + 6mn + 9n² - m - 3n =
= (m² + 6mn + 9n²) - (m + 3n) =
= (m + 3n)² - (m + 3n) =
= (m + 3n)(m + 3n - 1);
9) a² - 9b² + a - 3b =
= (a² - 9b²) + (a - 3b) =
= (a - 3b)(a + 3b) + (a - 3b) =
= (a - 3b)(a + 3b + 1).
(2cos(x) + 3sin(x))^2 = 3^2
4cos^2(x) + 12cos(x)sin(x) + 9sin^2(x) = 9
Тригонометрическая единица - это cos^2(x) + sin^2(x)
Тогда справа 9 умножим на эту единицу:
4cos^2(x) + 12cos(x)sin(x) + 9sin^2(x) = 9(sin^2(x) + cos^2(x))
4cos^2(x) + 12cos(x)sin(x) + 9sin^2(x) = 9sin^2(x) + 9cos^2(x)
Преобразуем:
4cos^2(x) + 12cos(x)sin(x) + 9sin^2(x) - 9sin^2(x) - 9cos^2(x) = 0
-5cos^2(x) + 12cos(x)sin(x) = 0
Вынесем cos(x) за скобки:
cos(x) * (-5cos(x) + 12sin(x)) = 0
Поделим на -1 для смены знаков:
cos(x) * (5cos(x) - 12sin(x)) = 0
Тогда решение разобьётся на 2 уравнения:
1) cos(x) = 0
x = п/2 + пк, k принадлежит Z
2) 5cos(x) - 12sin(x) = 0
Поделим уравнение на cos(x), при условии, что cos(x) не равен 0. Тогда:
5 - 12tg(x) = 0
Поделим на -1 для смены знака:
12tg(x) - 5 = 0
12tg(x) = 5
tg(x) = 5/12
x = arctg(5/12) + пk, k принадлежит Z
ответ: x = п/2 + пк, k принадлежит Z; x = arctg(5/12) + пk, k принадлежит Z