Question

Интегрирование рациональных дробей.

Answer 1

Метод неопределённых коэффициентов

$\displaystyle \int\limits { \frac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} } \, dx =\int\limits { \frac{Ax+B}{x^2+1} } \, dx +\int\limits { \frac{C}{x-2} } \, dx \boxed{=}$

*********************************************************
$\dfrac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} = \dfrac{Ax+B}{x^2+1} + \dfrac{C}{x-2}$

Приводя к общему знаменателю, получим
$x^2=(Ax+B)(x-2)+C(x^2+1)$

Найдем коэффициенты A, B, C.
$x^2\,:\, \, 2^2=0+C\cdot (2^2+1)\\ x^0\,:\, \,0=B\cdot (-2)+C\\ x^1\,:\, \,1=-A-B+2C$

Решая систему уравнений, получим: $\begin{cases} & \text{ } C= \,\,\,\,\dfrac{4}{5} \\ & \text{ } B= \dfrac{2}{5} \\ & \text{ } A=\,\,\,\,\dfrac{1}{5} \end{cases}$
*******************************************************

$\displaystyle \boxed{=} \int\limits { \frac{ \frac{1}{5}x+ \frac{2}{5} }{x^2+1} } \, dx +\int\limits { \frac{ \frac{4}{5} }{x-2} } \, dx = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{x+2}{x^2+1} } \, dx + \frac{4}{5} \int\limits { \frac{dx}{x-2} } \, =\\ \\ \\ = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{xdx}{x^2+1} } \, + \frac{2}{5} \int\limits { \frac{dx}{x^2+1} } \, + \frac{4}{5} \int\limits { \frac{dx}{x-2} } \,= \\ \\ \\ = \frac{1}{10}\ln (x^2+1)+ \frac{2}{5} arctg x+ \frac{4}{5} \ln|x-2|+C$