Question

Сколько решений уравнения 8sinx+7cos(x+π6)=57−−√8sin⁡x+7cos⁡(x+π6)=57 принадлежит промежутку [13π,2017π)[13π,2017π)?

Answer 1

1.
8*sin(x) + 7*cos(6*I*p + x) = 2*\/ 2 *\/ sin(x) + 7*cos(6*I*p + x) + 57 / / \\ / / \\
 | |115 \/ 229 || | |115 \/ 229 ||
x1 = I*im|asin|--- +|| + re|asin|--- +| | 
 \ \ 16 16 // \ \ 16 16 // дано уравнение 
8 \sin{\left (x \right )} + 7 \cos{\left (6 i p + x \right )} = 2 \sqrt{2} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} + 7 \cos{\left (6 i p + x \right )} + 57$$
преобразуем
- 2 \sqrt{2} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} - 7 \cos{\left (6 i p + x \right )} - 57 + 8 \sin{\left (x \right )} + 7 \cos{\left (6 i p + x \right )} = 0 
сделаем замену 
w = \sin{\left (6 i p + x \right )}
- 2 \sqrt{2} \sqrt{w} = - 8 w + 57
возведём обе части уравнения в (0) 2-ую степень
8 w = \left(- 8 w + 57 \right)^{2}
8 w = 64 w^{2} - 912 w + 3249
перенесём правую часть уравнения в левую со знаком минус 
- 64 w^{2} + 920 w + 3249 = 0 
это уравнение вида 
a*w^2 + b*w + c = 0 
квадратное уравнение можно решить с дискриминанта.
корни квадратного уравнения:
w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a} 
w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант
т.к.
a = - 64
b = 920
c = - 3249
,то
D = b^2 - 4*a*c = (920)^2 - 4 * (-64) * (-3249) = 14656 
т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
w_{1} = - \frac{\sqrt{229}}{16} + \frac{115}{16}
w_{2} = \frac{\sqrt{229}}{16} + \frac{115}{16}

т.к.
\sqrt{w} = 2 \sqrt{2} w - \frac{57 \sqrt{2}}{4}
и
\sqrt{w} \geq 0 
то
 ___
 57*\/ 2 ___
- + 2*w*\/ 2 >= 0
 4

или
$$\frac{57}{8} \led w$$
$$w < \infty$$
тогда, окончательный ответ:
$$w_{2} = \frac{\sqrt{229}}{16} + \frac{115}{16}$$
делаем обратную замену 
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
это простейшее тригонометрическое уравнение 
это уравнение преобразуется в 
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
или 
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n-любое целое число 
подставляем w:
x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$

x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{229}}{16} + \frac{\sqrt{115}{16} \right )}
x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{229}}{16} + \frac{\sqrt{115}{16} \right )}
x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi
x_{2} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{229}}{16} + \frac{\sqrt{115}{16} \right )}
x_{2} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{229}}{16} + \frac{\sqrt{115}{16} \right )}